Una particolare successione di funzioni

[Cantor99]

Vi chiederei di controllare se ho ragionato giusto nel seguente esericizio

Studiare l'uniforme convergenza della successione di funzioni
\[
f_{n}(x)=\log\Bigg(\prod_{k=1}^{n} \bigg(1+\frac{1}{x^{k}} \bigg)^{k} \Bigg)
\]

Usando le proprietà dei logaritmi, riscrivo
\[
f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} k\log\bigg(1+\frac{1}{x^{k}}\bigg)
\]
Quindi posso vedere $f_{n}$ la successione delle somme parziali della serie
\[
\sum_{k=1}^{+\infty} f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} k\log\bigg(1+\frac{1}{x^{k}}\bigg)
\]
Dove converge uniformemente la serie converge anche la succession $f_{n}$.
Poi ho cercato di maggiorare così: se $x>0$ è $\log(1+x) \[
\sum_{k=1}^{+\infty} k\log\bigg(1+\frac{1}{x^{k}}\bigg) \le \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{x^{k}}
\]
La serie a lato converge uniformemente e totalmente nei compatti $[a,b]$ con $a>1$ e quindi anche la mia serie lo farà. Se $x<1$ la serie non dovrebbe essere definita e quindi dovrei aver finito.
Vi tornano questi ragionamenti?
Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Cantor99,

"Cantor99":la successione delle somme parziali della serie
$\sum_{k=1}^{+\infty} f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) $

Questo non mi torna...
Probabilmente intendevi scrivere

$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) = \sum_{k=1}^{+\infty} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) $

Poi completerei così:

$ \sum_{k=1}^{+\infty} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) \le \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{x^{k}} = \sum_{k=1}^{+\infty} k (\frac{1}{x})^k = \frac{x}{(x - 1)^2} \qquad \text{ per } |x| > 1 $

Non mi torna molto neanche il ragionamento successivo:

"Cantor99":Se $ x<1 $ la serie non dovrebbe essere definita

Perché non dovrebbe essere definita per $0 < x <= 1 $? Casomai non converge per tali valori di $x $...

[Cantor99]

Grazie Pilloeffe

"pilloeffe":
Probabilmente intendevi scrivere

$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) = \sum_{k=1}^{+\infty} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) $

Sì esatto volevo dire questo ma ho scritto un'altra cosa

"pilloeffe":
Non mi torna molto neanche il ragionamento successivo:
[quote="Cantor99"]Se $ x<1 $ la serie non dovrebbe essere definita

Perché non dovrebbe essere definita per $0 < x <= 1 $? Casomai non converge per tali valori di $x $... [/quote]
Sì esatto volevo dire questo ma ho scritto un'altra cosa parte 2

"pilloeffe":
$ \sum_{k=1}^{+\infty} k\log(1+\frac{1}{x^{k}}) \le \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{x^{k}} = \sum_{k=1}^{+\infty} k (\frac{1}{x})^k = \frac{x}{(x - 1)^2} \qquad \text{ per } |x| > 1 $

Giusto, ci vuole anche il pezzo $x<-1$. Grazie ancora