Una mano con Integrali impropri e carattere! confuso..

[mekkanikoo]

Ciao a tutti...Ragazzi, apro questo topic perchè non riesco a venirne a capo nello studio di alcuni integrali impropri non integrabili elementarmente..Prendiamo ad esempio questo esercizio: devo stabilire se l'integrale converge o diverge $ int_(0)^(1) (4cosx)/sqrt(4x)*arctan(1/x)dx $ Ora, non so esattamente cosa fare, forse $ (4cosx)/sqrt(4x) $ converge sempre poichè, seguendo il citerio dei p-integrali, in questo caso p sarebbe 1/2, ma non credo possa servire questo ragionamento, anche perchè c'è il coseno al numeratore..E poi, l'arcotangente?? Blocco totale, non so dove cominciare a mettere le mani, non so come sbrogliare la matassa..Spero mi aiuterete, ve ne sarei grato..

[dissonance]

Blocco totale [...] non so come sbrogliare [...]

Non esagerare! Intanto, esattamente come fai quando studi le serie numeriche, parti dal considerare l'assoluta convergenza sulla quale hai a disposizione i criteri "buoni": in pratica, metti la funzione integranda in valore assoluto se essa cambia segno. Mi pare però che non sia questo il caso, perché l'unica funzione che possa farti scherzi è $cos$ che si mantiene positiva in $[0, 1]$.

Ora cerca di ricondurti a funzioni note. Qui hai un sacco di termini dall'aspetto terribile ma che in realtà si mantengono limitati, e possiamo stimarli dall'alto:

$\frac{2cosx}{sqrt(x)}arctan(1/x)<=\frac{pi}{sqrt(x)}$, per ogni $x\in(0, 1]$.

E adesso è tutta questione di criterio del confronto. Siccome sappiamo che $int_0^1 \frac{pi}{sqrt(x)}"d"x$ converge, stesso comportamento ha l'integrale dato.

Tieni conto anche che questa è la tecnica standard: se non si riesce a studiare direttamente la convergenza dell'integrale dato ci si riconduce a integrali noti per mezzo di stime come questa, oppure (ed è sostanzialmente la stessa cosa) per mezzo di stime asintotiche.