Una funzione non H^1 il cui valore assoluto è H^1?
Sto studiando la disuguaglianza diamagnetica sul Lieb - Loss, Analysis, §7.20-7.21. Si tratta di una disuguaglianza che ci permette di concludere \(f \in H_A^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow \lvert f \rvert \in H^1(\mathbb{R}^n)\), dove \(H_A^1(\mathbb{R}^n)\) è un certo sottospazio di \(L^2(\mathbb{R}^n)\) (spazio di Sobolev magnetico credo si chiami).
La cosa che mi lascia perplesso è il commento del libro, che dice: attenzione, il fatto che \(\lvert f \rvert \in H^1(\mathbb{R}^n)\) NON implica che \(f \in H^1(\mathbb{R}^n)\). Il che non è facile da mandare giù così, ci vorrebbe un esempio... mi aiutate a fabbricarne uno? Ci occorre una funzione \(f \in L^2(\mathbb{R}^n)\) tale che \(\nabla f \notin L^2(\mathbb{R}^n)\) ma \(\nabla (\lvert f \rvert)\in L^2(\mathbb{R}^n)\).
La cosa che mi lascia perplesso è il commento del libro, che dice: attenzione, il fatto che \(\lvert f \rvert \in H^1(\mathbb{R}^n)\) NON implica che \(f \in H^1(\mathbb{R}^n)\). Il che non è facile da mandare giù così, ci vorrebbe un esempio... mi aiutate a fabbricarne uno? Ci occorre una funzione \(f \in L^2(\mathbb{R}^n)\) tale che \(\nabla f \notin L^2(\mathbb{R}^n)\) ma \(\nabla (\lvert f \rvert)\in L^2(\mathbb{R}^n)\).
Risposte
Non trovo il commento che dici.
Io ho la seconda edizione del Lieb-Loss, e l'unico commento di rilievo sta alla fine della sezione 7.20, la quale dice:
Io ho la seconda edizione del Lieb-Loss, e l'unico commento di rilievo sta alla fine della sezione 7.20, la quale dice:
If \(f\in H^1_A(\mathbb{R}^n)\), it is not necessarily true that \(f\in H^1(\mathbb{R}^n)\). However, \(|f|\) is always in \(H^1(\mathbb{R}^n)\)...
Si si è proprio lui! Non l'ho riportato verbatim per non introdurre gli spazi \(H^1_A\). Vorrei trovare un esempio del fenomeno citato: com'è possibile che in qualche caso il valore assoluto abbia regolarità \(H^1\) e la funzione senza valore assoluto no? Pare curioso... io sono abituato a pensare che \(\lvert \cdot\rvert\) abbassi la regolarità, e adesso invece salta fuori che negli spazi di Sobolev non è per forza così, evidentemente.
Ho modificato il messaggio precedente.
Che cose astruse, ma per rendere l'idea: se f vale -1 dove vuoi tu e +1 nel complementare, allora |f| è identicamente uguale a 1. Liscierrima.
Basta questa banalità?
Basta questa banalità?
Adesso ho capito.
Il punto è che, se \(f\in H^1\), allora \(|f|\in H^1\).
Qui invece stiamo parlando di funzioni \(f\) tali che \(|f|\in H^1\), ma \(f\not\in H^1\).
Se fosse solo questo non ci sarebbero problemi a costruire esempi (*); se invece si vuole anche che \(f\in H^1_A\), mi sa che bisogna pensarci un attimo (non ho alcuna dimestichezza con questi spazi).
Edit: (*) vedi il messaggio di FP pervenuto nel frattempo.
Il punto è che, se \(f\in H^1\), allora \(|f|\in H^1\).
Qui invece stiamo parlando di funzioni \(f\) tali che \(|f|\in H^1\), ma \(f\not\in H^1\).
Se fosse solo questo non ci sarebbero problemi a costruire esempi (*); se invece si vuole anche che \(f\in H^1_A\), mi sa che bisogna pensarci un attimo (non ho alcuna dimestichezza con questi spazi).
Edit: (*) vedi il messaggio di FP pervenuto nel frattempo.
"Fioravante Patrone":
Che cose astruse, ma per rendere l'idea: se f vale -1 dove vuoi tu e +1 nel complementare, allora |f| è identicamente uguale a 1. Liscierrima.
Basta questa banalità?
Certo, basta a rispondere alla domanda per come l'ho posta io. In realtà, come nota Rigel, l'esempio che cerco riguarda proprio questi spazi astrusi, purtroppo... Ma forse riusciamo ad adattare il tuo.
Prendiamo un potenziale magnetico \(A(x, y, z)=(1, 0, 0)\). Lo spazio \(H_A^1(\mathbb{R}^3)\) si può definire come spazio delle funzioni \(f\in L^2\) tali che \((\nabla+iA)f \in L^2\), dove la derivata è intesa in senso distribuzionale. E quindi con questa scelta di \(A\) esso coincide con \(H^1\), per cui l'esempio di Fioravante si può applicare.
Però questo è un colpo basso, perché il potenziale magnetico che abbiamo preso è proprio ultra-trivial!

\[A(x, y, z)=(-y, x, 0).\]