Una funzione è differenziabile con continuità se e solo se ogni sua componente è differenziabile con continuità
Sia \( f\colon A\to F \) una funzione di un sottoinsieme aperto \( A \) di uno spazio normato \( E \) a valori in un prodotto \( \prod_{i = 1}^mF_i \) di \( m \) spazi normati \(F_i \).
Voglio provare che \( f \) è differenziabile con continuità su tutto il suo dominio se e solo se lo sono le sue \( m \) componenti \( f_i = \pi_i\circ f\colon A\to F_i \).
Prima di procedere, dico che denoto con \( Df \) il differenziale di \( F \), e con \( \hom(E,F) \) lo spazio delle funzioni lineari limitate dallo spazio \( E \) allo spazio \( F \) (allora, \( Df\in \hom(E,F) \)).
Una direzione è banale. Se \( f \) è differenziabile le \( f_i \) sono differenziabili perché sono composizioni di funzioni differenziabili. Inoltre, se la funzione
\[
Df\colon A\to \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i)
\] è continua, lo è anche ogni funzione
\[
D{f_i}\colon A\to \hom(E,F_i)\text{,}
\] perché questa altro non è che la composta delle due funzioni
\[
A\xrightarrow{Df} \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i)\xrightarrow{\hom(E,\pi_i)} \hom(E,F_i)
\] dove \( \hom(E,F_i) \) altro non è che la postcomposizione con \( \pi_i \), che è continua, per ogni \( i = 1,\dots,m \).
Mi sembra che l'altra direzione sia un po' meno banale, e voglio farla bene. Dire che tutte le funzioni \( f_i \) sono differenziabili con continuità significa che le funzioni
\[
\begin{aligned}
Df_i\colon A &\to \hom(E,F_i)\\
a &\mapsto Df_i(a)
\end{aligned}
\] sono ben definite e continue. Se riesco a dimostrare che
\[
\hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\cong \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)
\] come spazi normati (i morfismi sono le applicazioni lineari limitate) o semplicemente come spazi topologici, allora in teoria ho finto. Infatti, se \( \phi\colon \hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\to \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i) \) è un isomorfismo e \( \rho_k\colon \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)\to \hom(E,F_k) \) è la proiezione canonica, vale la seguente proprietà universale: per ogni spazio topologico \( X \) e per ogni funzione di insiemi \( \psi\colon X\to \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i) \), la \( \psi \) è continua se e solo se sono continue le composte \( (\rho_k\circ \phi)\circ \psi\colon X\to \hom(E,F_k) \), per ogni \( k = 1,\dots,m \). Ora è chiaro che \( Df \) soddisfa questa proprietà.
A questo punto ho un paio di domande.
0) "È giusto"? Mi sembra un po' incasinata come dimostrazione, ma secondo me va bene.
1) So dimostrare che la funzione ovvia \( \phi\colon\hom(E,\prod_{i = 1}^nF_i)\to \prod_{i = 1}^m\hom(E,F_i) \) è (biiettiva e) lineare limitata. Non riesco a far vedere che lo è la sua inversa. È banale e devo pensarci domani o mi dite voi come si fa?
2) Mi è difficile immaginare un corso di analisi (a meno che il corso di analisi non sia tenuto da Dieudonné, ma mi sa che in questo momento è morto) che dimostra questo fatto con un argomento simie a quello che ho usato io. Qual è la "dimostrazione classica" di questo fatto?
3) (difficile, o almeno credo) Come sono fatti i limiti nella categoria \( \mathsf{Norm} \) degli spazi normati e delle applicazioni lineari bounded tra essi? È vero che si costruiscono "come in \( \mathsf{Top} \)"?
Voglio provare che \( f \) è differenziabile con continuità su tutto il suo dominio se e solo se lo sono le sue \( m \) componenti \( f_i = \pi_i\circ f\colon A\to F_i \).
Prima di procedere, dico che denoto con \( Df \) il differenziale di \( F \), e con \( \hom(E,F) \) lo spazio delle funzioni lineari limitate dallo spazio \( E \) allo spazio \( F \) (allora, \( Df\in \hom(E,F) \)).
Una direzione è banale. Se \( f \) è differenziabile le \( f_i \) sono differenziabili perché sono composizioni di funzioni differenziabili. Inoltre, se la funzione
\[
Df\colon A\to \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i)
\] è continua, lo è anche ogni funzione
\[
D{f_i}\colon A\to \hom(E,F_i)\text{,}
\] perché questa altro non è che la composta delle due funzioni
\[
A\xrightarrow{Df} \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i)\xrightarrow{\hom(E,\pi_i)} \hom(E,F_i)
\] dove \( \hom(E,F_i) \) altro non è che la postcomposizione con \( \pi_i \), che è continua, per ogni \( i = 1,\dots,m \).
Mi sembra che l'altra direzione sia un po' meno banale, e voglio farla bene. Dire che tutte le funzioni \( f_i \) sono differenziabili con continuità significa che le funzioni
\[
\begin{aligned}
Df_i\colon A &\to \hom(E,F_i)\\
a &\mapsto Df_i(a)
\end{aligned}
\] sono ben definite e continue. Se riesco a dimostrare che
\[
\hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\cong \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)
\] come spazi normati (i morfismi sono le applicazioni lineari limitate) o semplicemente come spazi topologici, allora in teoria ho finto. Infatti, se \( \phi\colon \hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\to \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i) \) è un isomorfismo e \( \rho_k\colon \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)\to \hom(E,F_k) \) è la proiezione canonica, vale la seguente proprietà universale: per ogni spazio topologico \( X \) e per ogni funzione di insiemi \( \psi\colon X\to \hom(E,\prod_{i = 1}^mF_i) \), la \( \psi \) è continua se e solo se sono continue le composte \( (\rho_k\circ \phi)\circ \psi\colon X\to \hom(E,F_k) \), per ogni \( k = 1,\dots,m \). Ora è chiaro che \( Df \) soddisfa questa proprietà.
A questo punto ho un paio di domande.
0) "È giusto"? Mi sembra un po' incasinata come dimostrazione, ma secondo me va bene.
1) So dimostrare che la funzione ovvia \( \phi\colon\hom(E,\prod_{i = 1}^nF_i)\to \prod_{i = 1}^m\hom(E,F_i) \) è (biiettiva e) lineare limitata. Non riesco a far vedere che lo è la sua inversa. È banale e devo pensarci domani o mi dite voi come si fa?
2) Mi è difficile immaginare un corso di analisi (a meno che il corso di analisi non sia tenuto da Dieudonné, ma mi sa che in questo momento è morto) che dimostra questo fatto con un argomento simie a quello che ho usato io. Qual è la "dimostrazione classica" di questo fatto?
3) (difficile, o almeno credo) Come sono fatti i limiti nella categoria \( \mathsf{Norm} \) degli spazi normati e delle applicazioni lineari bounded tra essi? È vero che si costruiscono "come in \( \mathsf{Top} \)"?
Risposte
Devi usare il fatto che $m$ è finito in qualche modo. Quanto all'argomento, questo è l'approccio cosidetto "soft", qualitativo; poi c'è l'approccio "hard", quantitativo. Io ad esempio, assumendo $f(0)=0$, osserverei che per definizione
\[
(f_1(h), \ldots, f_m(h))=(\phi_1 h +o(\lVert h\rVert ),\ldots, \phi_m h+o(\lVert h\rVert ))=(\phi_1, \ldots, \phi_m)h + o(\lVert h\rVert ), \]
dove \(\phi_j\) è una mappa lineare continua di \(E\) in \(F_j\). Quindi \((f_1, \ldots, f_m)\) è differenziabile in \(0\) con differenziale \((\phi_1, \ldots, \phi_m)\), che è una mappa lineare continua di \(E\) in \(\prod _1^mF_j\). Qui usi in modo cruciale il fatto che \(m\) è finito. Anche il fatto che \((o(\lVert h\rVert), \ldots, o(\lVert h \rVert))=o(\lVert h\rVert)\) richiede la dimensione finita.
\[
(f_1(h), \ldots, f_m(h))=(\phi_1 h +o(\lVert h\rVert ),\ldots, \phi_m h+o(\lVert h\rVert ))=(\phi_1, \ldots, \phi_m)h + o(\lVert h\rVert ), \]
dove \(\phi_j\) è una mappa lineare continua di \(E\) in \(F_j\). Quindi \((f_1, \ldots, f_m)\) è differenziabile in \(0\) con differenziale \((\phi_1, \ldots, \phi_m)\), che è una mappa lineare continua di \(E\) in \(\prod _1^mF_j\). Qui usi in modo cruciale il fatto che \(m\) è finito. Anche il fatto che \((o(\lVert h\rVert), \ldots, o(\lVert h \rVert))=o(\lVert h\rVert)\) richiede la dimensione finita.
\( \newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1}\rVert} \)Ok, grazie, allora dovevo arrivarci. Ma non ho capito se intendi che il numero di spazi che sto moltiplicando deve essere finito, o che la dimensione di questi spazi deve essere finita. Secondo me tutto ciò funziona anche se gli \( F_i \) hanno dimensione arbitraria (e in ogni caso io non so cos'è il prodotto di una famiglia infinita di spazi normati 
[1]).
Ciò detto, credo di aver dimostrato che
\[
\hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\cong \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)
\] come spazi normati. Cioè la dimostrazione è banale e usa il fatto che la norma di un \( u\in \hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i) \) è proprio
\[
\norm{u} = \max\{\norm{\pi_i\circ u} : i = 1,\dots,m\}
\] e quindi la biiezione ovvia tra quei due insiemi e anche bicontinua.
Comunque continua a farmi strano che la dimostrazione che ho fatto io non sia troppo incasinata. Secondo me c'era un modo più ovvio di procedere...
[1] Tra l'altro: mi pare di aver letto che c'è un modo per definire il prodotto di una famiglia infinita di normati, ma quello che viene fuori non è un prodotto in senso categoriale (per far sì che lo sia bisogna cambiare i morfismi ma non ho approfondito la questione).
[1]).Ciò detto, credo di aver dimostrato che
\[
\hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i)\cong \prod_{i = 1}^m \hom(E,F_i)
\] come spazi normati. Cioè la dimostrazione è banale e usa il fatto che la norma di un \( u\in \hom(E,\prod_{i = 1}^m F_i) \) è proprio
\[
\norm{u} = \max\{\norm{\pi_i\circ u} : i = 1,\dots,m\}
\] e quindi la biiezione ovvia tra quei due insiemi e anche bicontinua.
Comunque continua a farmi strano che la dimostrazione che ho fatto io non sia troppo incasinata. Secondo me c'era un modo più ovvio di procedere...
[1] Tra l'altro: mi pare di aver letto che c'è un modo per definire il prodotto di una famiglia infinita di normati, ma quello che viene fuori non è un prodotto in senso categoriale (per far sì che lo sia bisogna cambiare i morfismi ma non ho approfondito la questione).
Voglio dire che il prodotto cartesiano deve essere finito. La dimensione dei singoli spazi è irrilevante.
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