Una funzione... derivabile
costruire, se possibile, una funzione avente derivata nulla in un continuo di punti e strettamente crescente.
buon lavoro
buon lavoro
Risposte
ritengo che la funzione che richiedi non puo' esistere e provo a dimostrartelo:
una funzione è strettamente crescente se per ogni x,z che appartengono al suo dominio con x>z f(x)>f(z).ma allora se pongo
z=x-h con h tendente a zero (credo z appartenga sempre al dominio di f perche' è incluso in un intorno di x) avro' (x-(x-h))>0 e (f(x)-f(x-h))>0 per definizione di stretta crescenza cio' implica che pure [(f(x)-f(x-h))/h]>0 strettamente allora se ne deduce che non puo' mai annullarsi la derivata perche' al limite [(f(x)-f(x-h))/h]=f'(x).
una funzione è strettamente crescente se per ogni x,z che appartengono al suo dominio con x>z f(x)>f(z).ma allora se pongo
z=x-h con h tendente a zero (credo z appartenga sempre al dominio di f perche' è incluso in un intorno di x) avro' (x-(x-h))>0 e (f(x)-f(x-h))>0 per definizione di stretta crescenza cio' implica che pure [(f(x)-f(x-h))/h]>0 strettamente allora se ne deduce che non puo' mai annullarsi la derivata perche' al limite [(f(x)-f(x-h))/h]=f'(x).
Scusa maolimix,ma se la x che consideri è propio un punto isolato?
La derivata neanche si potrbbe fare.Inoltre se prendi ad esempio y=x^2 e fai tutti i rapporti incrementali in x=0,questi sono tutti >0 ma al limite fanno 0.Un esempio ancora più facile è con i limiti di successioni numeriche:a(n)=1/n>0 ma lima(n)=0.Inoltre dove sfrutti il fatto che l'insieme dei punti in cui la f ha derivata nulla è continuo?
Comunque credo che rinunciando a molte cose(sicuramnete la continuità),la funzione si può trovare...mi sembra di averla incontrata in teoria della misura,ma se anche esistesse credo che la sua scrittura sarebbe alquanto noiosa.Ciao
La derivata neanche si potrbbe fare.Inoltre se prendi ad esempio y=x^2 e fai tutti i rapporti incrementali in x=0,questi sono tutti >0 ma al limite fanno 0.Un esempio ancora più facile è con i limiti di successioni numeriche:a(n)=1/n>0 ma lima(n)=0.Inoltre dove sfrutti il fatto che l'insieme dei punti in cui la f ha derivata nulla è continuo?
Comunque credo che rinunciando a molte cose(sicuramnete la continuità),la funzione si può trovare...mi sembra di averla incontrata in teoria della misura,ma se anche esistesse credo che la sua scrittura sarebbe alquanto noiosa.Ciao
credo che l'esempio che hai fatto della parabola non sia dimostrativo del fatto che la funzione possa esistere perche' se,per esempio prendo f(x)=x^2 f(-1)>f(0) e 0>-1 per cui andrei contro le ipotesi.Insomma la parabola non è una funzione strettamente crescente(ecco perche' si riesce a curvare formando in zero una derivata nulla).Anche per l'esempio delle successioni a(n)=1/n (strett. decresc.) il fatto che al limite vadano a zero non va contro le ipotesi.In generale il olo fatto che la derivata sia nulla in un insieme continuo di punti imporrebbe una funzione costante e questo pure va contro le ipotesi.
y(x)=x^3 va bene però.Rapporti incrementali:
((x+h)^3-x^3)/h,in particolare in 0 abbiamo:
(h^3)/h=h^2>0 per ogni h ma al limite 0.L'ultima considerazione poi non la capisco.Comunque in queste cose si deve usare cautela,ad esempio potrebbe venire in mente di usare lagrange:
per ogni x,y nel dominio di f ho:
(f(x)-f(y))/(x-y)=f'(z),trattandosi di un continuo di punti poi,posso trovare questa terna e dunque avrei f(x)=f(y),che esclude la stretta crescenza...eppure ci sono diversi errori in questa dimo.
Si può chiedere qualcosa di analogo all'esercizio di uber:
esiste una funzione strettamente crescente da R-->R discontinua su tutto R-Q?Tale funzione esiste e se uno non lo sa si può avventurare in dimostrazioni che peò sono foriere di errori.Concludo comunque nel chiedere ad uber se la funzione in questione deve essere da tutto R in R.Ciao
((x+h)^3-x^3)/h,in particolare in 0 abbiamo:
(h^3)/h=h^2>0 per ogni h ma al limite 0.L'ultima considerazione poi non la capisco.Comunque in queste cose si deve usare cautela,ad esempio potrebbe venire in mente di usare lagrange:
per ogni x,y nel dominio di f ho:
(f(x)-f(y))/(x-y)=f'(z),trattandosi di un continuo di punti poi,posso trovare questa terna e dunque avrei f(x)=f(y),che esclude la stretta crescenza...eppure ci sono diversi errori in questa dimo.
Si può chiedere qualcosa di analogo all'esercizio di uber:
esiste una funzione strettamente crescente da R-->R discontinua su tutto R-Q?Tale funzione esiste e se uno non lo sa si può avventurare in dimostrazioni che peò sono foriere di errori.Concludo comunque nel chiedere ad uber se la funzione in questione deve essere da tutto R in R.Ciao
citazione:
Comunque credo che rinunciando a molte cose(sicuramnete la continuità),la funzione si può trovare.
scusa cart, ma dove la trovo una funzione discontinua e derivabile?
citazione:
In generale il olo fatto che la derivata sia nulla in un insieme continuo di punti imporrebbe una funzione costante
non è vero! probabilmente non conosci l'insieme di Cantor: un chiuso, continuo, non contenente alcun segmento.
l'idea mia, infatti, è di costruire una funzione avente derivata nulla solo sull'insieme di Cantor.
p.s. non ho capito la tua dimostrazione: non utilizzi nessuna ipotesi... comunque prova a considerare x^3: è strettamente crescente e ha derivata nulla in x=0; inoltre (provaci) si può agevolmente costruire una funzione strettamente crescente avente derivata prima nulla in una infinità numerabile di punti... il problema è passare al continuo..
ciao
uber, se provi a fare una funzione fatta da infiniti trattini orizzontali di lunghezza n, che salgono all'infinito con salti di ampiezza n, poi mandi n a zero che succede?
la tua osservazione è giusta pero',intuitivamente tento di dimostrarti che non dimostra che la funzione in questione possa esistere.Una funzione è strett. crescente se per ogni x,z con x diverso da z e x>z f(x)>f(z).La funzione x^3 rientra perfettamente nelle ipotesi perche' se mandi al limite h significa che z al limite coincide con x quindi il rapporto incrementale al limite puo' fare come vuole in quanto x=z e nelle ipotesi di stretta crescenza non si dice nulla a riguardo(è annoverato solo x>z).Ma trovare un continuo di punti in cui f'(x)=0 significa che esiste un h tale che [f(x)-f(x-h)]/h=0 (non mandata al limite necessariamente).Cio' imporrebbe (almeno in R)che f(x)=costante nei punti in cui f'(x)=0 e cio' non rispetta leipotesi perche' in quei punti se x>z f(x)=f(z).Scusa il modo barbaro con ui ho spiegato.
citazione:
Concludo comunque nel chiedere ad uber se la funzione in questione deve essere da tutto R in R.Ciao
non necessariamente.
citazione:
uber, se provi a fare una funzione fatta da infiniti trattini orizzontali di lunghezza n, che salgono all'infinito con salti di ampiezza n, poi mandi n a zero che succede?
ho paura che non sia continua e quindi neanche derivabile; però non ne sono sicuro.. bisognerebbe pensarci un attimo.
scusa maolimix:
citazione:
Ma trovare un continuo di punti in cui f'(x)=0 significa che esiste un h tale che [f(x)-f(x-h)]/h=0 (non mandata al limite necessariamente).Cio' imporrebbe (almeno in R)che f(x)=costante nei punti in cui f'(x)=0 e cio' non rispetta leipotesi perche' in quei punti se x>z f(x)=f(z).
non credo sia vero... sicuramente non è vero se si riuscisse a costruire una funzione don derivata nulla solo sull'insieme di Cantor.
escludendo l'insieme di cantor credo che sia vero infatti se la f ha derivata nulla in un insieme continuo di punti ,per esempio in [x,z] cio' significherebbe che per ogni c=x+h che appartiene a [x,z] [(f(x+h)-f(x))/h]=0 che implica f(c)=f(x) e questo va contro le ipotesi di fz strett. crescente.Pero' mi piacerebbe vederla questa fz nell'insieme di cantor anche perche' quest'insieme gode di una particolarità interessante a quanto pare.Anche se la derivata prima è nulla in un continuo di punti la funzione cresce...insomma in quest'insieme a velocità nulla una macchina percorrerebbe kilometri lo stesso,qual'è il rovescio della medaglia?
non credo sia possibile "vederla" una funzione del genere... queste funzioni si pensano, ma non si disegnano...
credo inoltre che sia scorretto dare una interpretazione fisica a queste funzioni.. allora se prendi la funzione trovata da Weierstrass continua in ogni punto e non derivabile in ogni punto, a che pensiamo? ad un corpo che si muove senza velocità!!
credo inoltre che sia scorretto dare una interpretazione fisica a queste funzioni.. allora se prendi la funzione trovata da Weierstrass continua in ogni punto e non derivabile in ogni punto, a che pensiamo? ad un corpo che si muove senza velocità!!
forse si...Si potrebbe pensare ad "un corpo che si muove senza velocità" perche' mettersi in quell'insieme significa semplicemente ridefinire il senso fisico delle variabili (ovviamente è un ipotesi la mia).La derivata,per esempio non è piu' intendibile come una velocità.Ma lo sarà un'altra grandezza.
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