Una funzione da derivare parzialmente
Ciao,
Ho da valutare le derivate parziali di $f(x,y)=|xy|^alpha$ in $(0,0)$ dove $alpha$ è un parametro positivo.
Per prima cosa ho provato il calcolo considerando costanti una alla volta le due variabili. La funzione l'ho vista quindi come funzione potenza (composta), trovando:
$f_x(x,y)=alpha*|xy|^(alpha-1)*|xy|/(xy)*y$, e non è possibile valutarla in $(0,0)$ perché non è definita sugli assi $x$ e $y$ (essendo $alpha$ positivo la $f$ è definita su $RR^2$).
Poi ho provato il limite dei rapporti incrementali e sono riuscito nel calcolo (la soluzione fa anche notare che $f$ è nulla sugli assi $x$ e $y$)
Perché il primo metodo è fallito?
Ho da valutare le derivate parziali di $f(x,y)=|xy|^alpha$ in $(0,0)$ dove $alpha$ è un parametro positivo.
Per prima cosa ho provato il calcolo considerando costanti una alla volta le due variabili. La funzione l'ho vista quindi come funzione potenza (composta), trovando:
$f_x(x,y)=alpha*|xy|^(alpha-1)*|xy|/(xy)*y$, e non è possibile valutarla in $(0,0)$ perché non è definita sugli assi $x$ e $y$ (essendo $alpha$ positivo la $f$ è definita su $RR^2$).
Poi ho provato il limite dei rapporti incrementali e sono riuscito nel calcolo (la soluzione fa anche notare che $f$ è nulla sugli assi $x$ e $y$)
Perché il primo metodo è fallito?
Risposte
Perché non riesci a far bene i conti con la formula.
Ho derivato prima la funzione potenza, poi la funzione valore assoluto e infine la funzione $xy$ considerando $y$ costante.
Non trovo l'errore.
Avevo provato anche portando $alpha$ dentro il valore assoluto e ottengo lo stesso risultato del primo tentativo.
Non trovo l'errore.
Avevo provato anche portando $alpha$ dentro il valore assoluto e ottengo lo stesso risultato del primo tentativo.
Credo si possa fare cosí:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \alpha |x y|^{\alpha - 1} sign(x y) y$
dove $sign$ è la funzione segno
$\frac{\partial f}{\partial x} = \alpha |x y|^{\alpha - 1} sign(x y) y$
dove $sign$ è la funzione segno
Il problema è che la formula per la derivazione del valore assoluto ha senso solo lì dove l’argomento del valore assoluto è $!=0$.
Se non hai capito questo, ti conviene lasciar perdere Analisi II e ritornare su Analisi I.
Se non hai capito questo, ti conviene lasciar perdere Analisi II e ritornare su Analisi I.
mi ero dimenticato che $f(x) = |x|$ non è derivabile in $0$
Ma allora qui con il rapporto incrementale di $f(x,y) = |xy|^{\alpha}$ in $(0,0)$ si ha
$\frac{\partial f}{\partial x} = lim_{h \to 0} \frac{|(0 + h) \cdot 0|^{\alpha} - |0 \cdot 0|^{\alpha}}{h} = 0$
e perciò i limiti destro e sinistro coincidono solo grazie alla $y$ che in $0$ annulla il tutto?
Ma allora qui con il rapporto incrementale di $f(x,y) = |xy|^{\alpha}$ in $(0,0)$ si ha
$\frac{\partial f}{\partial x} = lim_{h \to 0} \frac{|(0 + h) \cdot 0|^{\alpha} - |0 \cdot 0|^{\alpha}}{h} = 0$
e perciò i limiti destro e sinistro coincidono solo grazie alla $y$ che in $0$ annulla il tutto?
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