Una funz. continua manda intervalli in intervalli [Dimostr.]
Ciao a tutti.
Sia f una funzione continua definita come $f$ $ : A\rightarrowmathbb{R}$ e sia $C$ un intervallo in $A$ $\Rightarrow$ $f(C)$ è un intervallo.
Posso proporvi una mia dimostrazione così da sapere se va bene o meno?
Poichè f è continua in tutto $A$, sarà continua anche in tutto $C$ e quindi in ogni suo punto. Ciò significa che per ogni $c\in C$ $ \exists \delta_c>0$ $|$ $ f$ $( B_c(\delta_c)\capC) )$ $\subset V$ dove $V$ è un intorno di $f$ $(c)$ e $B_c(\delta_c)$ una palla aperta centrata in $c$ con raggio $\delta_c$.
Se consideriamo l'intervallo $C$ come l'unione di tutte le palle aperte centrate in $c$ con raggio $\delta_c$ che varia fino ad un valore massimo, allora necesariamente l'immagine di C è un intervallo, poichè vale $f$ $(A\cupB) = f$ $(A)\cup$ $f$ $(B)$.
Cosa c'è che non va? cosa ho tralasciato??
Sia f una funzione continua definita come $f$ $ : A\rightarrowmathbb{R}$ e sia $C$ un intervallo in $A$ $\Rightarrow$ $f(C)$ è un intervallo.
Posso proporvi una mia dimostrazione così da sapere se va bene o meno?
Poichè f è continua in tutto $A$, sarà continua anche in tutto $C$ e quindi in ogni suo punto. Ciò significa che per ogni $c\in C$ $ \exists \delta_c>0$ $|$ $ f$ $( B_c(\delta_c)\capC) )$ $\subset V$ dove $V$ è un intorno di $f$ $(c)$ e $B_c(\delta_c)$ una palla aperta centrata in $c$ con raggio $\delta_c$.
Se consideriamo l'intervallo $C$ come l'unione di tutte le palle aperte centrate in $c$ con raggio $\delta_c$ che varia fino ad un valore massimo, allora necesariamente l'immagine di C è un intervallo, poichè vale $f$ $(A\cupB) = f$ $(A)\cup$ $f$ $(B)$.
Cosa c'è che non va? cosa ho tralasciato??
Risposte
Oppure nelle stesse ipotesi di prima, dimostro che per ogni $\n\in ]f(x_1);f(x_2)[$ con $f(x_1)
Considero questo $n$ e gli insiemi $A_+={x\in[x_1;x_2] | f(x) \geq n}$ $A_- $ $={x\in[x_1;x_2] | f(x) \leq n}$ che sono due classi contigue(o no??.. da dimostrare??).
Considero l'insieme $A_+$ che essendo chiuso anche in $\mathbb{R}$ ammette un minimo chiamato ad esempio $t$ e l'insieme $A_-$ essendo anch'esso chiuso in $\mathbb{R}$ ammette un massimo. Poichè sono classi contigue, vi sarà un solo elemento separatore che coincide con $t = max(A_-) = min(A_+)$ e $t$ coincide proprio con $f^-1(n)$.
... qualche problema??
Considero questo $n$ e gli insiemi $A_+={x\in[x_1;x_2] | f(x) \geq n}$ $A_- $ $={x\in[x_1;x_2] | f(x) \leq n}$ che sono due classi contigue(o no??.. da dimostrare??).
Considero l'insieme $A_+$ che essendo chiuso anche in $\mathbb{R}$ ammette un minimo chiamato ad esempio $t$ e l'insieme $A_-$ essendo anch'esso chiuso in $\mathbb{R}$ ammette un massimo. Poichè sono classi contigue, vi sarà un solo elemento separatore che coincide con $t = max(A_-) = min(A_+)$ e $t$ coincide proprio con $f^-1(n)$.
... qualche problema??
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