Una dritta su questo rompicapo "dietetico"
Salve ragazzi! Vorrei proporvi un integrale con annessa mio tentativo di risoluzione. Dico tentativo in quanto il risultato non sembrerebbe corretto, e qualcosina deve essermi necessariamente sfuggito durante il procedimento non proprio ridotto in dimensione:
$ int_(0)^(1/2)log(sqrt(x)/(1-x))dx $
L'integrale è improprio, in quanto $ 0 $ non appartiene al dominio della funzione integranda. ( in realtà la parte conclusiva con il calcolo del limite non l'ho affrontata in quanto, come detto, ho commesso qualche errore nel calcolo della primitiva dell'integrale indefinito. )
Dunque calcolo l'integrale indefinito
$ int log(sqrt(x)/(1-x))dx $ :
Pongo $ sqrt(x) = t $ , dunque $ x = t^2 $ e $ dx = 2tdt $
Sostituendo abbiamo: $ int log(t/(1-t^2))2dt $ , che può essere visto come $ int 1 * log(t/(1-t^2))2dt $ .
Procedo dunque integrando per parti laddove : $ g'(t) = 2t $ , $ g(t) = t^2 $ , $ f(t) = log(t/(1-t^2)) $ ed infine $ f'(t) = (t^2+1)/(t(1-t^2)) $
Abbiamo : $ log(t/(1-t^2))* t^2 - int ((t^2+1)/(t(1-t^2)) * t^2 $
Procedo nel calcolare
$ int (t^2+1)/(t(1-t^2)) * t^2 $ che è uguale a $ int (t^3+t)/(1-t^2) $
Opero la divisione: $ (t^3+t)/(1-t^2) $
Cosicchè $ int (t^3+t)/(1-t^2) $ $ = int -tdt + int (2t)/(1-t^2)dt $
Il primo integrale è banalmente uguale a $ -t^2/2 $ .
Calcolo invece il secondo integrale, $ int (2t)/(1-t^2)dt $ , portando fuori la costante $ 2 $, quindi $ 2 int (t)/(1-t^2)dt $
Procedo dunque nel calcolare $ int (t)/(1-t^2)dt $ usando il metodo delle frazioni:
$ A/(1+t) + B/(1-t) = (A - At + B + Bt)/(1-t^2) = ((B-A)t + (A+B))/(1-t^2) $
Eguaglio i coefficienti del numeratore, risolvendo il sistema $ { ( B-A = 1 ),( A + B = 0 ):} $
Ottengo $ A = -1/2 $ e $ B = 1/2 $ .
Sostituendo nell'integrale di partenza e moltiplicando per la costante $ 2 $ precedentemente portata fuori ottengo:
$ log|1-t|-log|1+t| $
Dunque mettiamo insieme le soluzioni ottenute:
$ int log(t/(1-t^2))dt = log(t/(1-t^2)) * t^2 + t^2/2 + log|1+t| - log|1-t| $
Sostituisco nuovamente in $ x $ e ottengo:
$ log(sqrt(x)/(1-x)) * x + x/2 + log|1+sqrt(x)| - log|1-sqrt(x)| $
Tuttavia il risultato corretto, per me inspiegabilmente, è il seguente:
$ x/2 + log(sqrt(x)/(1-x)) * x + log(1-x) $
Spero qualcuno abbia qualche minuto di tempo e curiosità in merito, magari aiutandomi a scovare l'errore!
$ int_(0)^(1/2)log(sqrt(x)/(1-x))dx $
L'integrale è improprio, in quanto $ 0 $ non appartiene al dominio della funzione integranda. ( in realtà la parte conclusiva con il calcolo del limite non l'ho affrontata in quanto, come detto, ho commesso qualche errore nel calcolo della primitiva dell'integrale indefinito. )
Dunque calcolo l'integrale indefinito
$ int log(sqrt(x)/(1-x))dx $ :
Pongo $ sqrt(x) = t $ , dunque $ x = t^2 $ e $ dx = 2tdt $
Sostituendo abbiamo: $ int log(t/(1-t^2))2dt $ , che può essere visto come $ int 1 * log(t/(1-t^2))2dt $ .
Procedo dunque integrando per parti laddove : $ g'(t) = 2t $ , $ g(t) = t^2 $ , $ f(t) = log(t/(1-t^2)) $ ed infine $ f'(t) = (t^2+1)/(t(1-t^2)) $
Abbiamo : $ log(t/(1-t^2))* t^2 - int ((t^2+1)/(t(1-t^2)) * t^2 $
Procedo nel calcolare
$ int (t^2+1)/(t(1-t^2)) * t^2 $ che è uguale a $ int (t^3+t)/(1-t^2) $
Opero la divisione: $ (t^3+t)/(1-t^2) $
Cosicchè $ int (t^3+t)/(1-t^2) $ $ = int -tdt + int (2t)/(1-t^2)dt $
Il primo integrale è banalmente uguale a $ -t^2/2 $ .
Calcolo invece il secondo integrale, $ int (2t)/(1-t^2)dt $ , portando fuori la costante $ 2 $, quindi $ 2 int (t)/(1-t^2)dt $
Procedo dunque nel calcolare $ int (t)/(1-t^2)dt $ usando il metodo delle frazioni:
$ A/(1+t) + B/(1-t) = (A - At + B + Bt)/(1-t^2) = ((B-A)t + (A+B))/(1-t^2) $
Eguaglio i coefficienti del numeratore, risolvendo il sistema $ { ( B-A = 1 ),( A + B = 0 ):} $
Ottengo $ A = -1/2 $ e $ B = 1/2 $ .
Sostituendo nell'integrale di partenza e moltiplicando per la costante $ 2 $ precedentemente portata fuori ottengo:
$ log|1-t|-log|1+t| $
Dunque mettiamo insieme le soluzioni ottenute:
$ int log(t/(1-t^2))dt = log(t/(1-t^2)) * t^2 + t^2/2 + log|1+t| - log|1-t| $
Sostituisco nuovamente in $ x $ e ottengo:
$ log(sqrt(x)/(1-x)) * x + x/2 + log|1+sqrt(x)| - log|1-sqrt(x)| $
Tuttavia il risultato corretto, per me inspiegabilmente, è il seguente:
$ x/2 + log(sqrt(x)/(1-x)) * x + log(1-x) $
Spero qualcuno abbia qualche minuto di tempo e curiosità in merito, magari aiutandomi a scovare l'errore!
Risposte
Sbaglio o quando hai sostituito $dx = 2t dt$ ti sei perso/a $t$?
Mi sembra che il problema non sia lì, ora che leggo meglio. Sarà un errore di trascrizione.
Che ne dici di parlare di questo $ int (2t)/(1-t^2)dt $ ?
E' un integrale immediato. Non ti si accede una lampadina fissandolo?
Che ne dici di parlare di questo $ int (2t)/(1-t^2)dt $ ?
E' un integrale immediato. Non ti si accede una lampadina fissandolo?
NB: Se tu avessi trovato $log| 1 + sqrt(x) | + log| 1 - sqrt(x) |$ allora avresti risolto l'integrale indefinito. Mi sa che hai messo un segno meno che non ci doveva essere.
Effettivamente, ora che me lo hai fatto notare, mi pare proprio che sia uguale a $ -log(1-t^2) $
Sostituendo in $ t $ : $ -log(1-x) $ ....
La stanchezza fa brutti scherzi!
Grazie mille per avermi fatto notare la svista.
Una curiosità: ho decisamente fatto una cavolata complicandomi la vita utilizzando le frazioni... ma in ogni caso il risultato non avrebbe dovuto essere lo stesso?!?!
Sostituendo in $ t $ : $ -log(1-x) $ ....
La stanchezza fa brutti scherzi!
Grazie mille per avermi fatto notare la svista.
Una curiosità: ho decisamente fatto una cavolata complicandomi la vita utilizzando le frazioni... ma in ogni caso il risultato non avrebbe dovuto essere lo stesso?!?!
Sì, dovrebbe essere così.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo