Una dritta per un limite
Ciao
ho questo limite
$lim_(x->1)((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))^(pi-4arctgx)$ forma indeterminanta $infty^0$
Qualche dritta per favore?
ho questo limite
$lim_(x->1)((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))^(pi-4arctgx)$ forma indeterminanta $infty^0$
Qualche dritta per favore?
Risposte
"vitus":
Ciao
ho questo limite
$lim_(x->1)((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))^(pi-4arctgx)$ forma indeterminanta $infty^0$
Qualche dritta per favore?
Con queste forme indeterminate la maniera classica di procede e passare per l'esponenziale...
$lim_(x->1) e^((pi-4arctgx) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))$
Ti viene in mente qualcosa ora? Un bel cambio di variabile, magari?
tipo $x-1$=t per cui se $xrarr 1$, $trarr0$?
Se è così però a che serve?
Se è così però a che serve?
Mi è venuta una idea: calcola questo limite $lim_( x -> 1 ) (pi - 4arctg(x))/(2(x - 1))$
quella sostituzione, in quella situazione ti serve a ben poco, però se provi a farti gli sviluppi di taylor, è sufficiente fermarsi al secondo ordine, delle funzioni $sin^2 (x-1)$ e $arctan(x)$ vedrai che la troverai molto utile!
Dovrei risolvere o con i limiti notevoli o con gli infiniti/infinitesisi o con Hopital.
Non riesco a capire come si giunge al risultato suggerito da Seneca!!
Non riesco a capire come si giunge al risultato suggerito da Seneca!!
"vitus":
Dovrei risolvere o con i limiti notevoli o con gli infiniti/infinitesisi o con Hopital.
Non riesco a capire come si giunge al risultato suggerito da Seneca!!
Sai come si dimostra che due infinitesimi sono equivalenti?
Salve
so (credo di sapere) come si trova l'ordine di infinito/infinitesimo di una funzione.
Non so se Lei si riferisce a questo!
so (credo di sapere) come si trova l'ordine di infinito/infinitesimo di una funzione.
Non so se Lei si riferisce a questo!
$lim_(x->1) e^((pi-4arctgx) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))$
$pi - 4 arctg(x)$ è, per $x -> 0$, un infinitesimo equivalente a $- 2( x - 1 )$.
Infatti, con De L'Hospital: $lim_(x -> 1) (pi - 4 arctg(x))/(2(x-1)) = -1$ $Leftarrow$ $lim_(x -> 1) - (4/(x^2 + 1))/2 = lim_(x -> 1) - (2/(x^2 + 1)) = - 1$
Quindi puoi scrivere $lim_(x->1) e^((pi-4arctgx) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))) = lim_(x->1) e^(- 2(x - 1) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))$
Che è una semplificazione niente male, ti pare?
$lim_(t->0) e^(- 2t * ln((2t +7)/(t + sin^2(t)))) = lim_(t->0) e^(- 2t * ln(2t +7) + 2t * ln(t + sin^2(t))) = lim_(t->0) e^(- 2t * ln(2t +7 ) ) * e^(2t ln(t + sin^2(t))) $
DOVREBBE essere giusto. Controlla bene i passaggi e chiediti se sono giustificati.
$pi - 4 arctg(x)$ è, per $x -> 0$, un infinitesimo equivalente a $- 2( x - 1 )$.
Infatti, con De L'Hospital: $lim_(x -> 1) (pi - 4 arctg(x))/(2(x-1)) = -1$ $Leftarrow$ $lim_(x -> 1) - (4/(x^2 + 1))/2 = lim_(x -> 1) - (2/(x^2 + 1)) = - 1$
Quindi puoi scrivere $lim_(x->1) e^((pi-4arctgx) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))) = lim_(x->1) e^(- 2(x - 1) * ln((2x+5)/(x-1+sin^2 (x-1)))$
Che è una semplificazione niente male, ti pare?
$lim_(t->0) e^(- 2t * ln((2t +7)/(t + sin^2(t)))) = lim_(t->0) e^(- 2t * ln(2t +7) + 2t * ln(t + sin^2(t))) = lim_(t->0) e^(- 2t * ln(2t +7 ) ) * e^(2t ln(t + sin^2(t))) $
DOVREBBE essere giusto. Controlla bene i passaggi e chiediti se sono giustificati.
Grazie
ho capito i passaggi, il risultato finale è $1$.Ok!
Non mi è chiaro per quale motivo $pi-4arctgx$ deve essere raffontato con $2(x-1)$
Da dove salta fuori $2(x-1)$
Grazie ancora
ho capito i passaggi, il risultato finale è $1$.Ok!
Non mi è chiaro per quale motivo $pi-4arctgx$ deve essere raffontato con $2(x-1)$
Da dove salta fuori $2(x-1)$
Grazie ancora
Mi aiutate???
Eh.. Confronti $pi - 4 arctg(x)$ con l'infinitesimo campione $x - 1$.
$lim_(x -> 0) (pi - 4 arctg(x))/(x - 1) = 2$, quindi $lim_(x -> 0) (pi - 4 arctg(x))/(2(x - 1)) = 1$
Ma allora $(pi - 4 arctg(x)) sim 2 ( x - 1 )$ sono infinitesimi equivalenti per $x -> 0$.
In determinate situazioni puoi pensare a $2 (x - 1)$ al posto di $(pi - 4 arctg(x))$, che è molto più comodo!
$lim_(x -> 0) (pi - 4 arctg(x))/(x - 1) = 2$, quindi $lim_(x -> 0) (pi - 4 arctg(x))/(2(x - 1)) = 1$
Ma allora $(pi - 4 arctg(x)) sim 2 ( x - 1 )$ sono infinitesimi equivalenti per $x -> 0$.
In determinate situazioni puoi pensare a $2 (x - 1)$ al posto di $(pi - 4 arctg(x))$, che è molto più comodo!
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