Una domanda sulle forme differenziali
Studiando le forme differenziali mi sono imbattuto in un facilissimo teorema:
sia $ w=f(x)*dx $ con $ f_1, f_2, ... , f_n $ definite e continue in A aperto connesso di $RR^n$
se w è esatta in A $\Rightarrow$ due primitive differiscono per una costante: $F(x)-G(x)=c$
riporto la semplice dimostrazione a scanso di equivoci:
$\nabla F(x) =f(x)$
$\nabla G(x) =f(x)$
sottraendo:
$\nabla(F(x)-G(x))=0 \Rightarrow F(x)-G(x)=c$ in A aperto connesso.
mi domando perchè è fondamentale la condizione che A sia connesso?
le mia insicura risposta è stata:
se non fosse connesso avrei dei "buchi" nel dominio, quindi dei punti di non regolarità nei quali non potrei fare il gradiente di F (o di G).
è corretto? o mi sfugge qualcosa??
sia $ w=f(x)*dx $ con $ f_1, f_2, ... , f_n $ definite e continue in A aperto connesso di $RR^n$
se w è esatta in A $\Rightarrow$ due primitive differiscono per una costante: $F(x)-G(x)=c$
riporto la semplice dimostrazione a scanso di equivoci:
$\nabla F(x) =f(x)$
$\nabla G(x) =f(x)$
sottraendo:
$\nabla(F(x)-G(x))=0 \Rightarrow F(x)-G(x)=c$ in A aperto connesso.
mi domando perchè è fondamentale la condizione che A sia connesso?
le mia insicura risposta è stata:
se non fosse connesso avrei dei "buchi" nel dominio, quindi dei punti di non regolarità nei quali non potrei fare il gradiente di F (o di G).
è corretto? o mi sfugge qualcosa??
Risposte
Un insieme connesso può avere buchi, una circonferenza è connessa per archi!
Il problema è che la costante \(c\) potrebbe non essere la stessa sulle componenti connesse.
Il problema è che la costante \(c\) potrebbe non essere la stessa sulle componenti connesse.
scusa vict85, non ho capito: ok che un insieme connesso può avere buchi, ma perchè la costante potrebbe esssere diversa?
Rimanendo nel caso più semplice monodimensionale. Se l'insieme è \([0,2]\cup[3,4]\) e la forma è banalmente \(\displaystyle dx \) allora
\(\displaystyle F(x) = x \)
e
\(\displaystyle G(x) = \begin{cases} x & \text{per } x\in [0,2] \\ x +3 & \text{per } x\in [3,4] \end{cases} \)
sono entrambe primitive di \(\displaystyle dx \) non ti sembra? Eppure la loro differenza non è costante su tutto l'insieme di definizione.
\(\displaystyle F(x) = x \)
e
\(\displaystyle G(x) = \begin{cases} x & \text{per } x\in [0,2] \\ x +3 & \text{per } x\in [3,4] \end{cases} \)
sono entrambe primitive di \(\displaystyle dx \) non ti sembra? Eppure la loro differenza non è costante su tutto l'insieme di definizione.
grazie vict85, adesso mi è chiaro!!
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