Una domanda sul criterio di Cauchy-Hadamard

[5mrkv]

L'enuciato è scritto così:

Sia $E$ uno spazio di Banach sul campo complesso. Data una successione di elementi $a_j \in E$ e due numeri $z,z_0 \in \mathbb{C}$ si consideri la serie di potenze con un punto iniziale $z_0$: $\ \ a_0+a_1(z-z_0)+...+a_n(z-z_0)^n$ al variare di $z$ in $\mathbb{C}$. Allora posto $\rho^{-1}=lim"sup"_n ||a_n||^{1/n}$ la serie converge assolutamente per $z$ tale che $z-z_0<\rho$ e non converge per $z-z_0>\rho$.

Si considera $M=\rho ^{-1}$ e si ricorda che per la definizione di limite superiore, dato $\epsilon > 0$, un numero finito o nullo di elementi della successione $||a_n||^{1/n}$ è maggiore di $M+\epsilon$ ed un numero infinito di elementi della successione è maggiore di $M-\epsilon$. Ponendo allora $|z-z_0|<\rho=M^{-1}$ segue anche $|z-z_0|<(M+\epsilon)^{-1}$. Non capisco come arriva alla seconda parte del periodo evidenziato.

[_prime_number]

Non so come prosegua la dimostrazione, quindi non so dirlo con certezza, ma forse intende: fissato $z $ tale che $|z-z_0|<1/M$, dato che questo disco è aperto esisterà $\epsilon >0$ tale che $|z-z_0|<1/{M+\epsilon}$.
In altre parole ti puoi restringere la palla $D(0,\rho)$ di un pochino. Forse ti serve perché la convergenza ce l'hai all'interno.

Paola

[5mrkv]

La dimostrazione prosegue con:

...e, per le proprietà del limite superiore, per tutti gli n a partire da un opprtuno $N(\epsilon)$ si ha: $||a_n||^{1\/n }<=M+\epsilon \/ 2$ pertanto sostituendo (con alcuni passaggi) ottengo $\sum||a_n|||z-z_0|^2<\infty$. Sia ora $|z-z_0|>\rho=M^{-1}$ esiste allora $\epsilon >0$ tale che $|z-z_0|>\rho=(M-\epsilon)^{-1}$ ed esistono infiniti valori che verificano $||a_n||{1 \/ n }>M-\epsilon$ per cui $||a_n|||z-z_0|^2>1$ per infiniti valori di $n$ ed allora la serie dell'enunciato non è di Chauchy e non converge.

Già che c'era poteva scrivere nel passaggio evidenziato ovviamente segue che ( ).

[5mrkv]

Qualcuno ha idea di cosa significhi?

[_prime_number]

Confermo quello che dicevo prima. Fissi $z$, scegli $\epsilon$ di conseguenza. A quel punto per definizione di limite superiore, esiste $N(\epsilon)$ tale che... bla bla.
Era ancora questo il tuo problema o hai altre perplessità?

Paola

[gugo82]

Scusa, 5mrkv, ma non ti basta prendere la dimostrazione di questo criterio (che trovi su un qualsiasi buon testo di Analisi II, o su un qualsiasi testo di Analisi Complessa) ed adattartela al nuovo ambiente?

Voglio dire, la dimostrazione è sempre la stessa, basta solo cambiare due o tre simboli qua e là per avere tutto ciò che ti serve...
In particolare, farei così.

Vogliamo mostrare che la serie converge per ogni \(z\in \mathbb{C}\) con \(|z-z_0|<\frac{1}{M}\), ove \(M:=\limsup_n \lVert a_n\rVert^{1/n}\), ossia per ogni \(z\in D(0;1/M)\).

Fissato che sia \(z\in D(z_0;1/M)\), si ha:
\[
|z-z_0|<\frac{1}{M} \quad \Rightarrow \quad M<\frac{1}{|z-z_0|}
\]
e quindi il numero:
\[
\tag{1} \varepsilon =\varepsilon (z):= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{|z-z_0|} -M\right) >0
\]
può essere usato nella definizione di massimo limite per assicurare che, da un certo indice \(\nu =\nu(z)\) in poi si ha sempre:
\[
\lVert a_n\rVert^{1/n} < M+\varepsilon\quad \Rightarrow \quad \lVert a_n\rVert <(M+\varepsilon)^n\; .
\]
D'altra parte dalla (1) si ricava immediatamente che:
\[
|z-z_0|= \frac{1}{M+2\varepsilon}\; ,
\]
quindi per lo \(n\)-esimo addendo della serie di potenze \(\sum a_n(z-z_0)^n\) si ottiene la stima:
\[
\forall n\geq \nu,\quad \lVert a_n(z-z_0)^n\rVert =\lVert a_n\rVert\ |z-z_0|^n < (M+\varepsilon)^n\ \frac{1}{(M+2\varepsilon)^n}\; .
\]
Ne consegue che la serie assegnata converge assolutamente in \(z\), perciocché essa è definitivamente maggiorata in norma dalla serie geometrica di ragione \(\lambda =(M+\varepsilon)/(M+2\varepsilon) \in ]0,1[\). \(\square\)

[5mrkv]

Non hai tutti i torti ma pensavo fosse un passaggio banale che non avevo compreso dando che è buttato li cosi. Sono quattrocento facciate di appunti di un corso annuale metodi matematici per la fisica. Tratta di funzioni olomorfe, topologia, spazi vettoriali, spazi di Hilbert, operatori (citando i capitoli). Penso si parli delle cose principali. Ci sono testi analoghi? O è meglio fare riferimento a bibliografie specifiche? Alle spalle ho l'esame di Algebra & Geometria (semestrale), Analisi I (annuale), Analisi II (semestrale). Come libri di Analisi ho il Pagani-Salsa I, II ed il Lanconelli I, IIa.