Una disuguaglianza in $H^1(\Omega)$
Salve ragazzi, avrei bisogno del vostro aiuto. Sto studiando una dimostrazione e c'è un passaggio che proprio non riesco a spiegarmi. Penso che debba esser qualcosa di veramente semplice dato che il libro non lo giustifica minimamente, ma a me è non chiaro.
Ho una successione di funzioni $u_n$ in $H^{1,\infty}(\Omega)$ che so convergere alla funzione $u\in H^1(\Omega)$ nel senso di $H^1$. Per le proprietà della convergenza forte ne senso di $L^2$ so che esiste una estratta dalla successione $\u_n$ che converge quasi ovunque ad $u$, si supporrà per semplicità di notazione che proprio $u_n$ abbia questa proprietà.
A partire da $u_n$, costruisco la successione ${\max(u_n,0)}$. Il passaggio incriminato è il seguente:
\[
||\max(u_n,0)-\max(u,0)||_{L^2(\Omega)} \leq ||u_n-u||_{L^2(\Omega)}.
\]
Ho provato usando la triangolare ma ci sono pezzi che non si levano, ho provato a maggiorare l'integrando e nulla, come posso fare? Avete qualche suggerimento?
Ho una successione di funzioni $u_n$ in $H^{1,\infty}(\Omega)$ che so convergere alla funzione $u\in H^1(\Omega)$ nel senso di $H^1$. Per le proprietà della convergenza forte ne senso di $L^2$ so che esiste una estratta dalla successione $\u_n$ che converge quasi ovunque ad $u$, si supporrà per semplicità di notazione che proprio $u_n$ abbia questa proprietà.
A partire da $u_n$, costruisco la successione ${\max(u_n,0)}$. Il passaggio incriminato è il seguente:
\[
||\max(u_n,0)-\max(u,0)||_{L^2(\Omega)} \leq ||u_n-u||_{L^2(\Omega)}.
\]
Ho provato usando la triangolare ma ci sono pezzi che non si levano, ho provato a maggiorare l'integrando e nulla, come posso fare? Avete qualche suggerimento?
Risposte
E' una disuguaglianza puntuale: distinguendo i vari casi, dimostra che
\[
|\max(a, 0)-\max(b, 0)|\le |a-b|
\]
per ogni $a, b\in \mathbb{R}$. (I casi sono: $a\ge 0, b\ge 0$, oppure $a\ge 0, b<0$ eccetera).
\[
|\max(a, 0)-\max(b, 0)|\le |a-b|
\]
per ogni $a, b\in \mathbb{R}$. (I casi sono: $a\ge 0, b\ge 0$, oppure $a\ge 0, b<0$ eccetera).
Grazie mille Dissonance.
Ho seguito il tuo suggerimento e la disuguaglianza puntuale si dimostra molto semplicemente.
OT: Mi sono appena iscritta ma vi leggo da un po'. Ne approfitto per ringraziarvi della vostra disponibilità e della vostra pazienza. Spero di poter dare anche io il mio contributo su questo forum.
Ho seguito il tuo suggerimento e la disuguaglianza puntuale si dimostra molto semplicemente.
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