Una distribuzione in coordinate polari?
Secondo voi, data una distribuzione di $D'(RR^2)$, ha senso parlare di "distribuzione in coordinate polari"?
Sul libro che sto leggendo, Analisi 3 di Gianni Gilardi, si definisce la composizione di una distribuzione $u$ con un diffeomorfismo (di classe $C^infty$) $F$ mediante la formula (che riprende la formula di cambiamento di variabili)
$\langleucircF, v\rangle=\langleu, (vcircF^(-1))|JF^(-1)|\rangle$
dove $v$ è una funzione test definita su un opportuno aperto di $RR^n$ (e $J$ è il determinante Jacobiano).
Il problema è che la $F$ di passaggio a coordinate polari non è un vero diffeomorfismo perché ha tutta una semiretta di discontinuità. Avendo a che fare con le funzioni di questo ce ne freghiamo, visto che una semiretta è trascurabile secondo Lebesgue. Ma per le distribuzioni?
Sul libro che sto leggendo, Analisi 3 di Gianni Gilardi, si definisce la composizione di una distribuzione $u$ con un diffeomorfismo (di classe $C^infty$) $F$ mediante la formula (che riprende la formula di cambiamento di variabili)
$\langleucircF, v\rangle=\langleu, (vcircF^(-1))|JF^(-1)|\rangle$
dove $v$ è una funzione test definita su un opportuno aperto di $RR^n$ (e $J$ è il determinante Jacobiano).
Il problema è che la $F$ di passaggio a coordinate polari non è un vero diffeomorfismo perché ha tutta una semiretta di discontinuità. Avendo a che fare con le funzioni di questo ce ne freghiamo, visto che una semiretta è trascurabile secondo Lebesgue. Ma per le distribuzioni?
Risposte
Si può fare, usando tecniche opportune.
La formula delle coordinate polari è una delle tante che discende dalla formula di coarea (una specie di teorema di Fubini "curvilineo"): la formula di coarea afferma che se $f:RR^n\to RR^m$ è lipschitziana, allora si ha:
$\int_(RR^n) J[f (x)] " d"x=\int_(RR^m) H_(n-m) (f^(-1)\{ y\}) " d"y$
ove $J[f(x)]$ è lo jacobiano di $f$, $H_(n-m)$ è un'appropriata misura (ossia la misura di Hausdorff $(n-m)$-dimensionale) ed $f^(-1)\{ y\}$ è la controimmagine di $y$.
Ciò comporta che vale la formula del cambiamento di variabili in ipotesi molto generali: precisamente le seguenti:
In particolare, se prendi $f(x):=|x|$, $f$ è lipschitziana e si ha:
$Df(x)=x/|x| => J[f(x)]=|Df(x)|=1 \quad$ e $\quad f^(-1)\{ y\} =\partial B(0;y)$
quindi trovi la formula delle coordinate polari:
$\int_(RR^n) g(x)" d"x=\int_0^(+oo) \{ \int_(\partial B(0;y)) g " d"H_(n-1)\} " d"y$
dove $H_(n-1)$ è una "misura di superficie".
Quindi probabilmente anche nella Teoria delle Distribuzioni si può fare a meno di richiedere che il cambiamento di variabili $f$ sia un diffeomorfismo.
Ad ogni modo, lascio dire qualcosa a chi ne sa di più.
La formula delle coordinate polari è una delle tante che discende dalla formula di coarea (una specie di teorema di Fubini "curvilineo"): la formula di coarea afferma che se $f:RR^n\to RR^m$ è lipschitziana, allora si ha:
$\int_(RR^n) J[f (x)] " d"x=\int_(RR^m) H_(n-m) (f^(-1)\{ y\}) " d"y$
ove $J[f(x)]$ è lo jacobiano di $f$, $H_(n-m)$ è un'appropriata misura (ossia la misura di Hausdorff $(n-m)$-dimensionale) ed $f^(-1)\{ y\}$ è la controimmagine di $y$.
Ciò comporta che vale la formula del cambiamento di variabili in ipotesi molto generali: precisamente le seguenti:
Se $f:RR^n\to RR^m$ è lipschitziana e $g:RR^n\to RR$ è sommabile, allora risulta:
$\quad \int_(RR^n) g(x) J[f(x)] " d"x=\int_(RR^m) \{ \int_(f^(-1)\{ y\}) g" d"H_(n-m)\}" d"y$
In particolare, se prendi $f(x):=|x|$, $f$ è lipschitziana e si ha:
$Df(x)=x/|x| => J[f(x)]=|Df(x)|=1 \quad$ e $\quad f^(-1)\{ y\} =\partial B(0;y)$
quindi trovi la formula delle coordinate polari:
$\int_(RR^n) g(x)" d"x=\int_0^(+oo) \{ \int_(\partial B(0;y)) g " d"H_(n-1)\} " d"y$
dove $H_(n-1)$ è una "misura di superficie".
Quindi probabilmente anche nella Teoria delle Distribuzioni si può fare a meno di richiedere che il cambiamento di variabili $f$ sia un diffeomorfismo.
Ad ogni modo, lascio dire qualcosa a chi ne sa di più.
Io invece la vedo male - e comunque mi pare che la formula di coarea non aiuti in nessun modo (scusami Gugo - ti assicuro - non e' che oggi ce l'ho con te 
).
Se capisco data una distribuzione $u(x,y)$ (metto le variabili $x$ e $y$ solo per capirci)
vorremmo definire $v(\rho,\theta)$ in modo che $v(\rho,\theta)=u(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$.
Come dice giustamente dissonace bisogna esprimere tale eguaglianza in forma debole; se
$u$ e' una funzione tale forma e' data dalla formula di cambiamento di variabile
$\int_{RR^2} v(\rho,\theta)\phi(\rho,\theta)d\rho d\theta= \int_{RR^2} u(x,y)\phi(F^{-1}(x,y))|J F^{-1}(x,y)|dx dy$ per ogni $\phi$ in $C_c^{\infty}(RR^2)$
essendo $F(\rho,\theta)=(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$
Per estendere tale formula alle distribuzioni servirebbe che per ogni $\phi$ in
$C_c^{\infty}(RR^2)$ la funzione $\phi(F^{-1}(x,y))|J F^{-1}(x,y)|$ fosse $C_c^\infty(RR^2)$ e che la mappa $\phi\mapsto \phi(F^{-1}(x,y))|j F^{-1}(x,y)|$ fosse continua rispetto alla convergenza in $C_c^{\infty}(RR^2)$.
Direi proprio che questo non e' possibile. Probabilmente la cosa si puo' fare se si aggiugono delle proprieta' a $u$
).Se capisco data una distribuzione $u(x,y)$ (metto le variabili $x$ e $y$ solo per capirci)
vorremmo definire $v(\rho,\theta)$ in modo che $v(\rho,\theta)=u(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$.
Come dice giustamente dissonace bisogna esprimere tale eguaglianza in forma debole; se
$u$ e' una funzione tale forma e' data dalla formula di cambiamento di variabile
$\int_{RR^2} v(\rho,\theta)\phi(\rho,\theta)d\rho d\theta= \int_{RR^2} u(x,y)\phi(F^{-1}(x,y))|J F^{-1}(x,y)|dx dy$ per ogni $\phi$ in $C_c^{\infty}(RR^2)$
essendo $F(\rho,\theta)=(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$
Per estendere tale formula alle distribuzioni servirebbe che per ogni $\phi$ in
$C_c^{\infty}(RR^2)$ la funzione $\phi(F^{-1}(x,y))|J F^{-1}(x,y)|$ fosse $C_c^\infty(RR^2)$ e che la mappa $\phi\mapsto \phi(F^{-1}(x,y))|j F^{-1}(x,y)|$ fosse continua rispetto alla convergenza in $C_c^{\infty}(RR^2)$.
Direi proprio che questo non e' possibile. Probabilmente la cosa si puo' fare se si aggiugono delle proprieta' a $u$
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