Una differenza... indefinitamente piccola

[keccogrin-votailprof]

Ciao,
sto studiando la teoria dell'integrale di Riemann per funzioni reali di variabile reale. Potete spiegarmi per favore il passaggio matematico in rosso che non ho capito (alla fine trovate la notazione usata ma credo che non ci sia bisogno):

Sia [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] limitata, [tex]f[/tex] integrabile su [tex][a,b][/tex]. Quindi (per il teorema di approssimazione) [tex]\forall \varepsilon >0, \exists \mathcal{P}[/tex] partizione di [tex][a,b][/tex] t.c. [tex]S(\mathcal{P}, f) - s(\mathcal{P}, f) < \varepsilon[/tex].
Inoltre [tex]\forall \mathcal{P}[/tex] valgono le disuguaglianze:
[tex]s(\mathcal{P}, f)\leq \sigma(\mathcal{P}, f)\leq S(\mathcal{P}, f) \ \ \ (1)[/tex]
e
[tex]s(\mathcal{P}, f)\leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq S(\mathcal{P}, f) \ \ \ (2)[/tex].
Quindi [tex]\forall \varepsilon >0, \exists \mathcal{P}[/tex] t.c. [tex]\mid \sigma(\mathcal{P}, f) - \int_{a}^{b} f(x)dx \mid < \varepsilon[/tex].

Notazione:
- partizione di [tex][a,b][/tex]: insieme finito di punti t.c. [tex]a=x_0\leq x_1 \leq \ldots \leq x_n=b[/tex];
- somma superiore di [tex]f[/tex] associata a [tex]\mathcal{P}[/tex] : [tex]S(\mathcal{P}, f)=\sum_{k=1}^n M_k \cdot (x_k - x_{k-1})[/tex], con [tex]M_k = sup\{f(x): x_{k-1}\leq x\leq x_k\}[/tex];
- somma inferiore di [tex]f[/tex] associata a [tex]\mathcal{P}[/tex] : [tex]s(\mathcal{P}, f)=\sum_{k=1}^n m_k \cdot (x_k - x_{k-1})[/tex], con [tex]m_k = inf\{f(x): x_{k-1}\leq x\leq x_k\}[/tex];
- somma integrale di Riemann associata a [tex]\mathcal{P}[/tex] di [tex]f[/tex] su [tex][a,b][/tex]: [tex]\sigma(\mathcal{P}, f)=\sum_{k=1}^n f(x_{k}*)\cdot (x_k - x_{k-1})[/tex] per qualche scelta di [tex]x_{k}* \in [x_{k-1}, x_k][/tex];
- integrale (di Riemann) definito di [tex]f[/tex] su [tex][a,b][/tex] : [tex]\int_{a}^{b} f(x)dx = sup \ s(\mathcal{P}, f) = inf \ S(\mathcal{P}, f)[/tex] se [tex]sup \ s(\mathcal{P}, f) = inf \ S(\mathcal{P}, f)[/tex].

[Rigel1]

Se hai due numeri \(A\) e \(B\) entrambi incastrati fra \(s\) ed \(S\), cioè \(A,B\in [s, S]\), la loro differenza (in modulo) sarà \(\leq S-s\).

[keccogrin-votailprof]

Grazie mille. Ciao