Una curiosità
Come si dimostra la formula che calcola la lunghezza
di un arco di curva?
con b > a.
di un arco di curva?
b
(f'(x))² + 1) dx
a
con b > a.
Risposte
Ciao Fireball,
è sufficiente il teorema di Pitagora. Essendo dx l'incremento infinitesimo della variabile x, ed f'(x) la derivata della funzione f(x) (e quindi la pendenza della curva in x), la funzione f(x) compresa tra le ascisse x e x+dx formerà un triangolo rettangolo di base dx e di altezza f'(x)*dx la cui ipotenusa non è altro che la lunghezza infinitesima dl della curva definita dalla funzione f(x) tra le ascisse precedentemente citate.
dl=Sqrt[f'(x)^2+1]*dx
A questo punto basta integrare tra gli estremi a e b ed il gioco è fatto.
Scusa per la risposta veloce e, forse, poco chiara
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 30/05/2004 19:52:05
è sufficiente il teorema di Pitagora. Essendo dx l'incremento infinitesimo della variabile x, ed f'(x) la derivata della funzione f(x) (e quindi la pendenza della curva in x), la funzione f(x) compresa tra le ascisse x e x+dx formerà un triangolo rettangolo di base dx e di altezza f'(x)*dx la cui ipotenusa non è altro che la lunghezza infinitesima dl della curva definita dalla funzione f(x) tra le ascisse precedentemente citate.
dl=Sqrt[f'(x)^2+1]*dx
A questo punto basta integrare tra gli estremi a e b ed il gioco è fatto.
Scusa per la risposta veloce e, forse, poco chiara
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 30/05/2004 19:52:05
citazione:
Ciao Fireball,
è sufficiente il teorema di Pitagora.
Questo lo sospettavo già da subito infatti... Grazie Marcello!
Mi dispiace, ma oggi una dimostrazione fatta con i "dx" non sta in piedi. Si dimostra (e non e' banale) che la lunghezza di una curva data parametricamente da una funzione z=z(t) (con z=(x,y)) definita su (a,b), e' l'integrale tra a e b del modulo del vettore tangente alla curva.
Basta poi scrivere la parametrizzazione come grafico, e salta fuori la formuletta richiesta.
Per la dimostrazione della formula per la curva data parametricamente, basta vedere un testo di Geometria differenziale qualunque, visto che una delle prime cose che si fanno all'inizio dello studio delle curve differenziabili.
Luca.
Basta poi scrivere la parametrizzazione come grafico, e salta fuori la formuletta richiesta.
Per la dimostrazione della formula per la curva data parametricamente, basta vedere un testo di Geometria differenziale qualunque, visto che una delle prime cose che si fanno all'inizio dello studio delle curve differenziabili.
Luca.
Gentilissimo Luca77, studente PhD, desidero farti notare che stai rispondendo ad un ragazzo (fireball) sicuramente parecchio in gamba ma che, tuttavia, non è ancora approdato all'università (mi pare). Non ti sembra eccessivo anche solo nominare la geometria differenziale?
Cordiali Saluti,
Marcello
Cordiali Saluti,
Marcello
Per rinfrescare i mei ricordi ho consultato sullo
argomento qualche testo( tra i quali quello,per
me ottimo,di Marcellini -Sbordone) ed effettivamente
dei "dx" non v'e' traccia.Tuttavia concordo con
Jeckill sul fatto che occorra proporzionare
la risposta all'utente che la richiede(essendo
comunque sicuro che Fireball e' in grado di
comprendere anche risposte piu' articolate).
Chi di noi non e' spesso tentato di mostrare
...i muscoli,pardon le proprie superiori conoscenze?
Puo' farlo in tutta liberta' ma senza saccenteria.
karl.
argomento qualche testo( tra i quali quello,per
me ottimo,di Marcellini -Sbordone) ed effettivamente
dei "dx" non v'e' traccia.Tuttavia concordo con
Jeckill sul fatto che occorra proporzionare
la risposta all'utente che la richiede(essendo
comunque sicuro che Fireball e' in grado di
comprendere anche risposte piu' articolate).
Chi di noi non e' spesso tentato di mostrare
...i muscoli,pardon le proprie superiori conoscenze?
Puo' farlo in tutta liberta' ma senza saccenteria.
karl.
Non conosco l'eta' di fireball, ne' a che punto degli studi e' arrivato, ma se gia' parla di derivate ed integrali credo sia perfettamente in grado di comprendere la dimostrazione che da' la lunghezza di una curva. Sono solo un po' di stime integrali... non c'e nulla di geometria differenziale vera e propria.
Ritengo che comunque, per fissare le idee, sia molto utile immaginare la dimostrazione con i dx, ma poi occorre imparare a farne a meno, ed acquisire le tecniche dimostrative proprie dell'Analisi.
Saluti, Luca.
Ritengo che comunque, per fissare le idee, sia molto utile immaginare la dimostrazione con i dx, ma poi occorre imparare a farne a meno, ed acquisire le tecniche dimostrative proprie dell'Analisi.
Saluti, Luca.
scusate la mia ingenuità ma non si può impostare una dimostrazione con dei deltax e farli poi tendere a 0? A proposito, qualcuno mi può definire esattamente cosa sia la lunghezza di una curva? E l'area di una figura?
Non credo che la domanda sia così banale (almeno per me non lo è) se si usa un linguaggio appropriato.
P.S. sarebbe carino vedere la dimostrazione non standard della formula... tanto per legittimare i dx
Modificato da - legolas87 il 31/05/2004 19:33:56
Non credo che la domanda sia così banale (almeno per me non lo è) se si usa un linguaggio appropriato.
P.S. sarebbe carino vedere la dimostrazione non standard della formula... tanto per legittimare i dx
Modificato da - legolas87 il 31/05/2004 19:33:56
Allora... Tanto per informarvi sulla mia età...
Tra quattro mesi inizio l'ultimo anno di liceo.
Siccome sono un appassionato, ho cominciato a studiacchiare
un po' di Analisi Matematica per conto mio, prima del tempo.
Volevo semplicemente sapere come si dimostrasse quella formula,
dal momento che su entrambi i miei libri di Analisi la dimostrazione non c'è.
Tra quattro mesi inizio l'ultimo anno di liceo.
Siccome sono un appassionato, ho cominciato a studiacchiare
un po' di Analisi Matematica per conto mio, prima del tempo.
Volevo semplicemente sapere come si dimostrasse quella formula,
dal momento che su entrambi i miei libri di Analisi la dimostrazione non c'è.
Le definizioni vere e proprie di lunghezza di una curva, ed in generale di "misura" di qualcosa richiedono un formalismo abbastanza complicato. L'idea e' quella di usare il calcolo integrale,e di integrare sempre la funzione costantemente uguale a 1 sull'insieme da misurare, e 0 altrove. Il problema e' che occorre integrare rispetto ad una opportuna "misura". Per esempio, se io considero una curva piana, l'idea e' quella di definire lunghezza della curva come l'integrale della funzione di 2 variabili reali che ha valore 1 sulla curva e 0 altrove nel piano. Ma questo integrale va calcolato rispetto ad una "misura" lineare, e non rispetto all'usuale misura "superficiale" naturale nel piano.
Non sono cose semplicissime, si studiano nei corsi di Analisi 2, pero', che io sappia, e' l'unico modo per definire correttamente che cosa si intende per misura di un insieme.
In realta' c'e' un altro modo (da cui deriva quello detto prima), che e' quello di definire proprio la misura (chiamata misura di Hausdorff); il vantaggio di tali metodi sta nel fatto che uno e' in grado di calcolare anche la "dimensione" di un insieme: per le curve "fatte bene" la dimensione viene 1, per le superfici "fatte bene" la dimensione viene 2, ma ci sono casi (insieme di Cantor, per esempio) in cui la dimensione non viene un numero naturale! Sono i cosidetti oggetti frattali...
Mi sono un po' dilungato per far capire che dal tentativo di dare la giusta definizione di misura di un insieme, si e' arrivati a concetti nuovi e molto fecondi, come l'intera Teoria geometrica della misura.
Luca.
Non sono cose semplicissime, si studiano nei corsi di Analisi 2, pero', che io sappia, e' l'unico modo per definire correttamente che cosa si intende per misura di un insieme.
In realta' c'e' un altro modo (da cui deriva quello detto prima), che e' quello di definire proprio la misura (chiamata misura di Hausdorff); il vantaggio di tali metodi sta nel fatto che uno e' in grado di calcolare anche la "dimensione" di un insieme: per le curve "fatte bene" la dimensione viene 1, per le superfici "fatte bene" la dimensione viene 2, ma ci sono casi (insieme di Cantor, per esempio) in cui la dimensione non viene un numero naturale! Sono i cosidetti oggetti frattali...
Mi sono un po' dilungato per far capire che dal tentativo di dare la giusta definizione di misura di un insieme, si e' arrivati a concetti nuovi e molto fecondi, come l'intera Teoria geometrica della misura.
Luca.
Passiamo ora a un'altra curiosità: perché la base dei
logaritmi naturali si chiama proprio e?
Forse dal nome del famoso matematico Eulero?
logaritmi naturali si chiama proprio e?
Forse dal nome del famoso matematico Eulero?
In matematica, il numero di Napier (latinizzato Nepero; talvolta chiamato anche Neper), ha importanza paragonabile a quella del p (PI greco) per la varietà delle sue applicazioni.
Se a Nepero è attribuita la scoperta del numero e, ad Eulero va il merito di averlo approfondito e reso popolare. Fu Eulero per primo ad indicarlo con la lettera "e" ed a calcolarlo fino alla 13ª cifra decimale: 2.7182818284590. E stata scelta la lettera "e" forse perché è l'iniziale del suo nome o più probabilmente perché è l'iniziale di "esponenziale". Fu anche Eulero per primo a usare il simbolo "pi greco" (in onore di Pitagora).
Se a Nepero è attribuita la scoperta del numero e, ad Eulero va il merito di averlo approfondito e reso popolare. Fu Eulero per primo ad indicarlo con la lettera "e" ed a calcolarlo fino alla 13ª cifra decimale: 2.7182818284590. E stata scelta la lettera "e" forse perché è l'iniziale del suo nome o più probabilmente perché è l'iniziale di "esponenziale". Fu anche Eulero per primo a usare il simbolo "pi greco" (in onore di Pitagora).
Si Fireball.
Ma non solo. Eulero è stato uno dei più grandi innovatori della simbologia matematica. Introdusse il simbolo e per indicare "quel numero il cui logaritmo iperbolico = 1".
Il simbolo
fu introdotto da un tale William jones nel 1706, un anno prima che nascesse Eulero, ma fu grazie ad Eulero che questo simbolo si diffuse, poichè lo usò costantemente nei suoi trattati.
Inoltre introdusse anche il simbolo i per indicare l'unità immaginaria. La coronazione di questi utilizzi è la formula di Eulero che contiene i 5 numeri più significativi di tutta la matematica (ad oggi conosciuta): e^i+1=0.
Introdusse ancora il simbolo di sommatoria usato oggi e la notazione f(x) per indicare una funzione di x.
Tornando alla tua domanda, il numero e ed il suo significato erano già ben noti prima, poichè fu lo scozzese John Napier (Nepero) a scoprirne l'importanza intorno al 1590 - 1600. Eulero visse dal 1707 al 1783.
Ma non solo. Eulero è stato uno dei più grandi innovatori della simbologia matematica. Introdusse il simbolo e per indicare "quel numero il cui logaritmo iperbolico = 1".
Il simbolo
fu introdotto da un tale William jones nel 1706, un anno prima che nascesse Eulero, ma fu grazie ad Eulero che questo simbolo si diffuse, poichè lo usò costantemente nei suoi trattati.Inoltre introdusse anche il simbolo i per indicare l'unità immaginaria. La coronazione di questi utilizzi è la formula di Eulero che contiene i 5 numeri più significativi di tutta la matematica (ad oggi conosciuta): e^i
+1=0.Introdusse ancora il simbolo di sommatoria usato oggi e la notazione f(x) per indicare una funzione di x.
Tornando alla tua domanda, il numero e ed il suo significato erano già ben noti prima, poichè fu lo scozzese John Napier (Nepero) a scoprirne l'importanza intorno al 1590 - 1600. Eulero visse dal 1707 al 1783.
Grazie delle preziose info, Cheguevilla! E grazie anche a Leonardo!
a proposito di frattali, ma che diamine sono?? ne sento parlare benissimo, ma ancora devo studiarli.. quando e in che corso si fanno??
I frattali sono oggetti geometrici che non hanno una dimensione intera. Esistono, ad esempio, insiemi che hanno dimensione compresa tra 1 e 2, ovvero sono piu' densi di curve, ma non abbastanza da essere chiamate superfici.
In genere vengono trovati con procedimenti iterativi: per esempio, prendi un triangolo equilatero, e costruisci su ogni lato 3 triangolini equilateri con il lato centrato nei 3 lati del triangolo iniziale; rifai poi la stessa costruzione sui 2 lati esterni di ognuno dei 3 triangolini, ecc.... al limite ottieni una figura che e' "autosimile", ovvero, riproduce lo stesso motivo ad ogni scala.
Per vederli in qualche corso, dovresti avere un corso specifico sull'argomento, magari un corso di Geometria superiore tenuto da un professore che si occupa di queste cose...
Di standarad, che io sappia, non si vedono in nessun corso.
La loro definizione esatta puoi anche vederla nella Teoria Geometrica della misura, come quegli insiemi con dimensione di Hausdorff non intera. Non so se farai Teoria Geometrica della misura... e' piu' un argomento da ricerca, che da corso di laurea.
Ciao, Luca.
In genere vengono trovati con procedimenti iterativi: per esempio, prendi un triangolo equilatero, e costruisci su ogni lato 3 triangolini equilateri con il lato centrato nei 3 lati del triangolo iniziale; rifai poi la stessa costruzione sui 2 lati esterni di ognuno dei 3 triangolini, ecc.... al limite ottieni una figura che e' "autosimile", ovvero, riproduce lo stesso motivo ad ogni scala.
Per vederli in qualche corso, dovresti avere un corso specifico sull'argomento, magari un corso di Geometria superiore tenuto da un professore che si occupa di queste cose...
Di standarad, che io sappia, non si vedono in nessun corso.
La loro definizione esatta puoi anche vederla nella Teoria Geometrica della misura, come quegli insiemi con dimensione di Hausdorff non intera. Non so se farai Teoria Geometrica della misura... e' piu' un argomento da ricerca, che da corso di laurea.
Ciao, Luca.
grazie Luca... vedremo..
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