Una cosa sulla dimostrazione di MVT
\( \newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1}\rVert} \)Se \( f \) è una funzione differenziabile e \( a \) è un punto, denoto con \( Df(a) \) il suo differenziale calcolato in \( a \).
Siano \( E \) ed \( F \) due spazi normati. Sia \( A\subset E \) un aperto di \( A \). Siano \( x,y\in A \) e sia \( [x,y]\subset A \), dove \( [x,y] = \{x + t(y - x) : 0\leqq t\leqq 1\} \). Sia \( f\colon A\to F \) una funzione differenziabile su tutto \( [x,y] \).
Sto cercando di provare che in tal caso la quantità
\[
\sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} = \sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finita, e che si ha
\[
\norm{f(y) - f(x)} \leqq \sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} \norm{y - x}\text{.}
\]
Assumo (e non dimostro qui) il fatto seguente.
Fatto seguente. Se \( h\colon [a,b]\to F \) è una funzione differenziabile [strike]tranne al più che su un insieme numerabile[/strike], e vale \( \norm{h^\prime(t)}\leqq M \) per una qualche costante \( M > 0 \), allora si ha
\[
\norm{h(b) - h(a)} \leqq M \lvert b - a\rvert\text{.}
\] Aggiungo solo che \( h^\prime(t) \) è per definizione la quantità \( Dh(t)(1) \), dove \( Dh(t)\colon \mathbb R\to F \) è il differenziale di \( h \) calcolato in \( t \), per ogni \( t\in [a,b] \) (cioè è il vettore di \( F \) che corrisponde alla lineare \( Df\in \hom(\mathbb R,F) \) mediante l'isomorfismo canonico che lega questi due spazi).
Dimostrazione. Considero la parametrizzazione \( g\colon [0,1]\to [x,y] \) del segmento \( [x,y] \) ovvia, \( g(t) = x + t(y - x) \), e ho che \( g \) è ovunque differenziabile e vale
\[
g^\prime(t) = (y - x)
\] per ogni \( t\in [0,1] \). Allora, anche\( f\circ g \) è differenziabile per ogni \( t\in [0,1] \), e vale
\[
{(f\circ g)}^\prime(t) = Df(x + t(y - x))(y - x)
\] (notazione brutta: è il valore del differenziale di \( f \) calcolato nel punto \( x + t(y - x) \), preso nel vettore \( y - x \)). Allora si ha
\[
\norm{{(f\circ g)}^\prime(t)} = \norm{Df(x + t(y - x))(y - x)}\leqq \norm{Df(x + t(y - x))}\norm{y - x}
\] dove \( \norm{Df(x + t(y - x))} \) è la norma operatoriale della mappa \( Df(x + t(y - x))\colon E\to F \).
Adesso faccio così (è qui che non sono molto sicuro di aver fatto la cosa giusta). Se la funzione che mappa \( t\mapsto Df(x + t(y - x)) \) è una funzione continua (ma non credo che lo sia), allora la funzione \( t\mapsto \norm{Df(x + t(y - x))} \) è ancora continua. Siccome il dominio di questa funzione è compatto (è l'intervallo \( [0,1] \)), allora ho vinto, perché posso porre \( M \) pari al \( \max{} \) di quelle quantità e la tesi segue subito dal lemma precedente.
Domanda. Sul libro c'è un \( \sup \), e non un \( \max \), il che mi fa presumere che non è necessariamente vero che \( f\circ g \) è differenziabile con continuità (e quindi non posso fare quella maggiorazione). Ma allora in quale altro modo posso arrivare a dire che
\[
\sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} = \sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finito?
Siano \( E \) ed \( F \) due spazi normati. Sia \( A\subset E \) un aperto di \( A \). Siano \( x,y\in A \) e sia \( [x,y]\subset A \), dove \( [x,y] = \{x + t(y - x) : 0\leqq t\leqq 1\} \). Sia \( f\colon A\to F \) una funzione differenziabile su tutto \( [x,y] \).
Sto cercando di provare che in tal caso la quantità
\[
\sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} = \sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finita, e che si ha
\[
\norm{f(y) - f(x)} \leqq \sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} \norm{y - x}\text{.}
\]
Assumo (e non dimostro qui) il fatto seguente.
Fatto seguente. Se \( h\colon [a,b]\to F \) è una funzione differenziabile [strike]tranne al più che su un insieme numerabile[/strike], e vale \( \norm{h^\prime(t)}\leqq M \) per una qualche costante \( M > 0 \), allora si ha
\[
\norm{h(b) - h(a)} \leqq M \lvert b - a\rvert\text{.}
\] Aggiungo solo che \( h^\prime(t) \) è per definizione la quantità \( Dh(t)(1) \), dove \( Dh(t)\colon \mathbb R\to F \) è il differenziale di \( h \) calcolato in \( t \), per ogni \( t\in [a,b] \) (cioè è il vettore di \( F \) che corrisponde alla lineare \( Df\in \hom(\mathbb R,F) \) mediante l'isomorfismo canonico che lega questi due spazi).
Dimostrazione. Considero la parametrizzazione \( g\colon [0,1]\to [x,y] \) del segmento \( [x,y] \) ovvia, \( g(t) = x + t(y - x) \), e ho che \( g \) è ovunque differenziabile e vale
\[
g^\prime(t) = (y - x)
\] per ogni \( t\in [0,1] \). Allora, anche\( f\circ g \) è differenziabile per ogni \( t\in [0,1] \), e vale
\[
{(f\circ g)}^\prime(t) = Df(x + t(y - x))(y - x)
\] (notazione brutta: è il valore del differenziale di \( f \) calcolato nel punto \( x + t(y - x) \), preso nel vettore \( y - x \)). Allora si ha
\[
\norm{{(f\circ g)}^\prime(t)} = \norm{Df(x + t(y - x))(y - x)}\leqq \norm{Df(x + t(y - x))}\norm{y - x}
\] dove \( \norm{Df(x + t(y - x))} \) è la norma operatoriale della mappa \( Df(x + t(y - x))\colon E\to F \).
Adesso faccio così (è qui che non sono molto sicuro di aver fatto la cosa giusta). Se la funzione che mappa \( t\mapsto Df(x + t(y - x)) \) è una funzione continua (ma non credo che lo sia), allora la funzione \( t\mapsto \norm{Df(x + t(y - x))} \) è ancora continua. Siccome il dominio di questa funzione è compatto (è l'intervallo \( [0,1] \)), allora ho vinto, perché posso porre \( M \) pari al \( \max{} \) di quelle quantità e la tesi segue subito dal lemma precedente.
Domanda. Sul libro c'è un \( \sup \), e non un \( \max \), il che mi fa presumere che non è necessariamente vero che \( f\circ g \) è differenziabile con continuità (e quindi non posso fare quella maggiorazione). Ma allora in quale altro modo posso arrivare a dire che
\[
\sup_{0\leqq t\leqq 1}\norm{Df(x + t(y - x))} = \sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finito?
Risposte
Forse ho capito dov'è il problema. Il teorema così non è vero: le ipotesi che ci sono sul mio libro sono più forti, e cioè richiedono 1) che lo spazio d'arrivo sia completo, e 2) che \( f \) sia continua. A dire il vero non so perché questo implichi che
\[
\sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finito, e vorrei capirlo.
Il teorema ovviamene si aggiusta chiedendo che esista una qualche \( M > 0 \) tale che
\[
\lVert Df(z)\rVert \leqq M
\] per ogni \( z\in [x,y] \).
\[
\sup_{z\in [x,y]}\norm{Df(z)}
\] è finito, e vorrei capirlo.
Il teorema ovviamene si aggiusta chiedendo che esista una qualche \( M > 0 \) tale che
\[
\lVert Df(z)\rVert \leqq M
\] per ogni \( z\in [x,y] \).
Ma quali sono le ipotesi del teorema sul libro? Perchè così non sai nemmeno che $f$ è differenziabile.
Nel primo messaggio chiedo là differenziabilità di f lungo tutto [x,y]. Nel secondo invece ho aggiunto (o meglio volevo aggiungere, dato che poi ho scritto un'altra cosa) a questa condizione che f deve essere una funzione tra spazi di Banach, e che deve essere continua (ovunque).
Cmq appena riesco edito e ti dico di preciso dove si trova l'enunciato. Qui ho formulato in maniera diversa il problema perché mi faceva comodo così.
Cmq appena riesco edito e ti dico di preciso dove si trova l'enunciato. Qui ho formulato in maniera diversa il problema perché mi faceva comodo così.
Si ma pensa in semplice, vale almeno per $E=RR=F$?
No. Quindi questa (J. Dieudonné, FMA, pag. 160) è sbagliata? Perché non è chiesto né che \( f \) sia differenziabile con continuità (altrimenti era giusta; correggimi se sbaglio), né che \( \lVert Df(z) \rVert\leqq M \) per qualche \( M > 0 \) su \( [x,y] \) (che è quello che si chiede si solito).
Forse ammette semplicemente la possibilità che il sup sia infinito, in quel caso non sarebbe certo sbagliata!
Comunque si, con $f$ differenziabile con continuità evidentemente sarebbe stato vero.
Comunque si, con $f$ differenziabile con continuità evidentemente sarebbe stato vero.
"otta96":Lol.
Forse ammette semplicemente la possibilità che il sup sia infinito, in quel caso non sarebbe certo sbagliata!
Grazie per aver controllato!
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