Una classe monotona che non è sigma-algebra
Sto cercando di costruire una classe monotona[size=75][1][/size] che non sia $sigma$-algebra[size=75][2][/size]. Basandomi su alcuni suggerimenti, ho deciso di prendere la classe contenente:
$\emptyset$, le semirette $(-infty, alpha), (beta, infty)$ e anche $(-infty, alpha], [beta, infty)$ e gli intervalli aperti simmetrici $(-gamma, -delta)uu(delta, gamma)$ e tutte le varianti (intervalli simmetrici chiusi, uno aperto e uno chiuso, uno semiaperto e l'altro aperto eccetera).
Ma non ho molto controllo su ciò che sto facendo
. Che dite, la classe di sopra è monotona? $sigma$-algebra non è di sicuro, e la più piccola $sigma$-algebra che la contiene è quella di Borel.
____________________
Sia $X$ un insieme non vuoto, $M, A$ due famiglie di sottoinsiemi di $X$.
[1] M si dice classe monotona se per ogni famiglia ${M_n}_{n\inNN}$ crescente di suoi elementi, l'unione $\bigcup_{n}M_n\inM$, e per ogni famiglia ${M'_n}_{n\inNN}$ decrescente di suoi elementi, l'intersezione $nn_{n}M'_n\inM$.
[2] A si dice $sigma$-algebra se contiene $\emptyset, X$ e se è chiusa rispetto alla complementazione e rispetto all'unione numerabile.
$\emptyset$, le semirette $(-infty, alpha), (beta, infty)$ e anche $(-infty, alpha], [beta, infty)$ e gli intervalli aperti simmetrici $(-gamma, -delta)uu(delta, gamma)$ e tutte le varianti (intervalli simmetrici chiusi, uno aperto e uno chiuso, uno semiaperto e l'altro aperto eccetera).
Ma non ho molto controllo su ciò che sto facendo
. Che dite, la classe di sopra è monotona? $sigma$-algebra non è di sicuro, e la più piccola $sigma$-algebra che la contiene è quella di Borel. ____________________
Sia $X$ un insieme non vuoto, $M, A$ due famiglie di sottoinsiemi di $X$.
[1] M si dice classe monotona se per ogni famiglia ${M_n}_{n\inNN}$ crescente di suoi elementi, l'unione $\bigcup_{n}M_n\inM$, e per ogni famiglia ${M'_n}_{n\inNN}$ decrescente di suoi elementi, l'intersezione $nn_{n}M'_n\inM$.
[2] A si dice $sigma$-algebra se contiene $\emptyset, X$ e se è chiusa rispetto alla complementazione e rispetto all'unione numerabile.
Risposte
Che ne dici di $X={a,b}$, ed $M = {\emptyset, {a},{a,b}}$?
$M$ è una catena (ovvero totalmente ordinata) rispetto all'inclusione, quindi unioni e intersezioni sono ok... (sono il max e il min ispetto alla relazione d'ordine $\sube$)
$M$ è una catena (ovvero totalmente ordinata) rispetto all'inclusione, quindi unioni e intersezioni sono ok... (sono il max e il min ispetto alla relazione d'ordine $\sube$)
Ed $M$ non è una $sigma$-algebra perché manca ${b}$, che è ${a,b}-{a}$. Giusto! Ottima idea Fioravante, grazie mille. Che casino stavo combinando!
"dissonance":
Ottima idea Fioravante
Mah, la vera "buona idea" è una idea generale, ovvero cercare sempre l'esempio o controesempio più semplice possibile.
"dissonance":Un po', sì. Ma poi lavorando sulle semirette ci arrivavi.
Che casino stavo combinando!
Ricordo ceh quando il prof (D'Amb) ci propose quest'esercizio, ci spinse a trovarne uno anche su un insieme continuo..e io pensai allo stesso tuo!
@Gaal: Ah, quindi praticamente sto facendo lo stesso esercizio che hai fatto tu! (Ma quest'anno la cattedra ce l'ha la Lucente).
Allora adesso provo a trovare un esempio anche su un insieme continuo, magari ragionando come sopra.
Il fatto è che un esempio semplice come quello di Fioravante mette bene in luce "a cosa servano" le classi monotone. Infatti, se non ho capito male, l'oggetto che noi dobbiamo studiare è la $sigma$-algebra, di cui la classe monotona è una versione depotenziata, utile per dimostrare alcuni teoremi.
Una osservazione semplice è che se una classe monotona è anche un'algebra (*) allora è automaticamente $sigma$-algebra. Quindi per costruire una classe monotona non $sigma$-algebra abbiamo tre possibilità:
1) O facciamo in modo che la classe monotona non contenga $emptyset$ o tutto $X$, ma così si costruiscono esempi banali (come ${emptyset}$, classe monotona non $sigma$-algebra);
2) O facciamo in modo che la classe monotona non sia stabile rispetto alle complementazioni, e questo è il principio della costruzione di Fioravante;
3) O facciamo in modo che la classe monotona non sia stabile rispetto alle unioni non crescenti, il che mi pare troppo astruso da realizzare.
L'unica via è quindi la 2). Ma questo l'ho capito adesso, dopo aver visto un esempio semplice, non prima ragionando su oggetti più complicati. Ha ragione Fioravante a dire che gli esempi vanno mantenuti più semplici possibile.
Vabbé allora per concludere il post (penso che sia orario
) ecco la classe monotona non $sigma$-algebra di parti di $RR$:
${emptyset, (-infty, alpha), (-infty, beta], RR\ |\ alpha, beta\inRR}$.
Dovremmo esserci. Unioni e intersezioni risp. crescenti e decrescenti di semirette sono ancora semirette, al limite $emptyset$ o $RR$. Ma questa non è $sigma$-algebra perché, ad esempio, non contiene $(-infty, 1)-(-infty, 0]=(0, 1)$.
____________________
Def.: Sia $X!=\emptyset$. Una famiglia $A$ di parti di $X$ si dice algebra di insiemi sse contiene $emptyset$ ed è chiusa rispetto alle unioni finite ed alle complementazioni.
Allora adesso provo a trovare un esempio anche su un insieme continuo, magari ragionando come sopra.
Il fatto è che un esempio semplice come quello di Fioravante mette bene in luce "a cosa servano" le classi monotone. Infatti, se non ho capito male, l'oggetto che noi dobbiamo studiare è la $sigma$-algebra, di cui la classe monotona è una versione depotenziata, utile per dimostrare alcuni teoremi.
Una osservazione semplice è che se una classe monotona è anche un'algebra (*) allora è automaticamente $sigma$-algebra. Quindi per costruire una classe monotona non $sigma$-algebra abbiamo tre possibilità:
1) O facciamo in modo che la classe monotona non contenga $emptyset$ o tutto $X$, ma così si costruiscono esempi banali (come ${emptyset}$, classe monotona non $sigma$-algebra);
2) O facciamo in modo che la classe monotona non sia stabile rispetto alle complementazioni, e questo è il principio della costruzione di Fioravante;
3) O facciamo in modo che la classe monotona non sia stabile rispetto alle unioni non crescenti, il che mi pare troppo astruso da realizzare.
L'unica via è quindi la 2). Ma questo l'ho capito adesso, dopo aver visto un esempio semplice, non prima ragionando su oggetti più complicati. Ha ragione Fioravante a dire che gli esempi vanno mantenuti più semplici possibile.
Vabbé allora per concludere il post (penso che sia orario
) ecco la classe monotona non $sigma$-algebra di parti di $RR$:${emptyset, (-infty, alpha), (-infty, beta], RR\ |\ alpha, beta\inRR}$.
Dovremmo esserci. Unioni e intersezioni risp. crescenti e decrescenti di semirette sono ancora semirette, al limite $emptyset$ o $RR$. Ma questa non è $sigma$-algebra perché, ad esempio, non contiene $(-infty, 1)-(-infty, 0]=(0, 1)$.
____________________
Def.: Sia $X!=\emptyset$. Una famiglia $A$ di parti di $X$ si dice algebra di insiemi sse contiene $emptyset$ ed è chiusa rispetto alle unioni finite ed alle complementazioni.
@dissonance:
si, però s'è fatta dare gli appunti del d'amb per mantenere una linea abbastanza fedele; del resto due anni fa la faceva lei ( il d'amb l'ha fatta solo 1 anno) e guardando dagli appunti di 2 anni fa, il prof era molto fedele alla prof (ovviamente i due insiemi erano diversi, c'erano argomenti in più e in meno, ma tutto sommato erano uguali).
Wow! Sei moderatore! auguri!
si, però s'è fatta dare gli appunti del d'amb per mantenere una linea abbastanza fedele; del resto due anni fa la faceva lei ( il d'amb l'ha fatta solo 1 anno) e guardando dagli appunti di 2 anni fa, il prof era molto fedele alla prof (ovviamente i due insiemi erano diversi, c'erano argomenti in più e in meno, ma tutto sommato erano uguali).
Wow! Sei moderatore! auguri!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo