Un semplice studio di funzione
Almeno credo.
Comunque vorrei il conforto del forum.
Dunque, data la funzione:
$y=e^xsqrt(x^2-x)$
determinare:
a. l'insieme di definizione;
b. gli eventuali asintoti;
c. l'insieme di derivabilità;
d. gli intervalli di crescenza e decrescenza;
e. i massimi ed i minimi.
La soluzione che propongo è la seguente.
Punto a.
Gli eventuali punti/intervalli di non definizione della funzione scaturiscono dalla necessarietà di avere un radicando non negativo. La funzione esponenziale, invece, essendo definita ovunque non crea problemi. Imponendo quindi:
$x^2-x>=0$
si perviene a:
$I=(-oo,0] U [1,+oo)$
Punto b.
Non vi sono asintoti. In particolare, non vi sono asintoti verticali in quanto non esiste alcun punto c per cui si possa scrivere:
$lim_{x->c}f(x)=oo$
Non esistono asintoti orizzontali in quanto il limite:
$lim_{x->oo}f(x)$ è diverso da k finito e reale.
Non esistono nemmeno gli asintoti obliqui in quanto il calcolo dell'eventuale coefficiente angolare di tali rette non è finito. Infatti:
$lim_{x->oo}f(x)/x=oo$
Punto c.
Per l'insieme di derivabilità, che interpreto come il campo di esistenza della funzione $y=f'(x)$, procedo in questo modo. Determino la derivata prima:
$y'=e^xsqrt(x^2-x)+((2x-1)e^x)/(2sqrt(x^2-x))$
che può anche scriversi nella forma:
$y'=(e^x[2(x^2-x)+(2x-1)])/(sqrt(x^2-x))$
Da cui osservo che l'insieme di derivabilità è l'intero asse dei numeri reali ad esclusione di $x=0$ e $x=1$.
Punto d.
Per determinare dove la funzione è crescente e dove è decrescente mi studio il segno di y'. Osservando l'espressione di y' possiamo dire che:
$y'>0$ se: $2(x^2-x)+(2x-1)>0$ che, sviluppata, conduce a:
$x^2>1/2$
In conclusione abbiamo che: $y'>0$, ovvero y è crescente, quando: $x<-sqrt(2)/2$ e quando: $x>sqrt(2)/2$. All'interno dell'intervallo $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ la y' è negativa e, pertanto, la y è decrescente.
Punto e.
Stante l'ultima conclusione del punto precedente possiamo anche affermare che il punto di ascissa $x=-sqrt(2)/2$ è un massimo in quanto prima di esso la funzione è crescente e dopo è decrescente.
Allo stesso modo possiamo dire che il punto della funzione di ascissa $x=sqrt(2)/2$ è un minimo in quanto prima di esso la funzione è decrescente e, dopo di esso, la funzione è crescente.
Cosa ne pensate? Ho dimenticato qualcosa? Oppure sono stato formalmente impreciso in qualche passaggio? O, peggio ancora, vi sono uno o più errori da qualche parte?
Grazie.
Comunque vorrei il conforto del forum.
Dunque, data la funzione:
$y=e^xsqrt(x^2-x)$
determinare:
a. l'insieme di definizione;
b. gli eventuali asintoti;
c. l'insieme di derivabilità;
d. gli intervalli di crescenza e decrescenza;
e. i massimi ed i minimi.
La soluzione che propongo è la seguente.
Punto a.
Gli eventuali punti/intervalli di non definizione della funzione scaturiscono dalla necessarietà di avere un radicando non negativo. La funzione esponenziale, invece, essendo definita ovunque non crea problemi. Imponendo quindi:
$x^2-x>=0$
si perviene a:
$I=(-oo,0] U [1,+oo)$
Punto b.
Non vi sono asintoti. In particolare, non vi sono asintoti verticali in quanto non esiste alcun punto c per cui si possa scrivere:
$lim_{x->c}f(x)=oo$
Non esistono asintoti orizzontali in quanto il limite:
$lim_{x->oo}f(x)$ è diverso da k finito e reale.
Non esistono nemmeno gli asintoti obliqui in quanto il calcolo dell'eventuale coefficiente angolare di tali rette non è finito. Infatti:
$lim_{x->oo}f(x)/x=oo$
Punto c.
Per l'insieme di derivabilità, che interpreto come il campo di esistenza della funzione $y=f'(x)$, procedo in questo modo. Determino la derivata prima:
$y'=e^xsqrt(x^2-x)+((2x-1)e^x)/(2sqrt(x^2-x))$
che può anche scriversi nella forma:
$y'=(e^x[2(x^2-x)+(2x-1)])/(sqrt(x^2-x))$
Da cui osservo che l'insieme di derivabilità è l'intero asse dei numeri reali ad esclusione di $x=0$ e $x=1$.
Punto d.
Per determinare dove la funzione è crescente e dove è decrescente mi studio il segno di y'. Osservando l'espressione di y' possiamo dire che:
$y'>0$ se: $2(x^2-x)+(2x-1)>0$ che, sviluppata, conduce a:
$x^2>1/2$
In conclusione abbiamo che: $y'>0$, ovvero y è crescente, quando: $x<-sqrt(2)/2$ e quando: $x>sqrt(2)/2$. All'interno dell'intervallo $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ la y' è negativa e, pertanto, la y è decrescente.
Punto e.
Stante l'ultima conclusione del punto precedente possiamo anche affermare che il punto di ascissa $x=-sqrt(2)/2$ è un massimo in quanto prima di esso la funzione è crescente e dopo è decrescente.
Allo stesso modo possiamo dire che il punto della funzione di ascissa $x=sqrt(2)/2$ è un minimo in quanto prima di esso la funzione è decrescente e, dopo di esso, la funzione è crescente.
Cosa ne pensate? Ho dimenticato qualcosa? Oppure sono stato formalmente impreciso in qualche passaggio? O, peggio ancora, vi sono uno o più errori da qualche parte?
Grazie.
Risposte
"alfredo":
Punto a.
$I=(-oo,0] U [1,+oo)$
OK.
"alfredo":
Punto b.
Non vi sono asintoti.
FALSO.
Cerca bene a $-oo$...
"alfredo":
Punto c.
Per l'insieme di derivabilità, che interpreto come il campo di esistenza della funzione $y=f'(x)$, procedo in questo modo. Determino la derivata prima:
$y'=e^xsqrt(x^2-x)+((2x-1)e^x)/(2sqrt(x^2-x))$
che può anche scriversi nella forma:
$y'=(e^x[2(x^2-x)+(2x-1)])/(sqrt(x^2-x))$
Da cui osservo che l'insieme di derivabilità è l'intero asse dei numeri reali ad esclusione di $x=0$ e $x=1$.
FALSO.
La derivata è corretta ma non il dominio. Controlla meglio, dal momento che hai determinato correttamente il dominio di $f(x)$ ti accorgerai da solo dell'errore che hai commesso in questo caso, credo sia stato un semplice abbaglio.
"alfredo":
Punto d.
In conclusione abbiamo che: $y'>0$, ovvero y è crescente, quando: $x<-sqrt(2)/2$ e quando: $x>sqrt(2)/2$. All'interno dell'intervallo $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ la y' è negativa e, pertanto, la y è decrescente.
FALSO.
Lo svolgimento della disequazione è corretto, tuttavia il risultato cambia una volta che tu abbia determinato correttamente il dominio della derivata prima.
"alfredo":
Punto e.
Stante l'ultima conclusione del punto precedente possiamo anche affermare che il punto di ascissa $x=-sqrt(2)/2$ è un massimo in quanto prima di esso la funzione è crescente e dopo è decrescente.
Allo stesso modo possiamo dire che il punto della funzione di ascissa $x=sqrt(2)/2$ è un minimo in quanto prima di esso la funzione è decrescente e, dopo di esso, la funzione è crescente.
Da rivedere alla luce delle precedenti osservazioni (ATTENZIONE al dominio della funzione!!!).
Rettifico.
Punto b.
Un asintoto orizzontale esiste e coincide con l'asse delle x. Infatti, eseguendo il limite della funzione per x che tende a $-oo$ si trova 0.
Punto c.
Il dominio di derivabilità è lo stesso della funzione.
Punto d.
Dal momento che la funzione non è definita nell'intervallo aperto (0,1) le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della medesima sono:
- y è crescente, quando $x<-sqrt(2)/2$
- y è decrescente, quando $-sqrt(2)/2
Punto e.
Stante le conclusioni del punto precedente abbiamo esclusivamente la presenza di un massimo per $x=-sqrt(2)/2$.
Spero che questa volta sia corretto. Pongo, inoltre, una domanda. I punti x=0 e x=1, in cui la funzione è certamente definita, sono da considerarsi minimi (ortodossi)?
Grazie.
Punto b.
Un asintoto orizzontale esiste e coincide con l'asse delle x. Infatti, eseguendo il limite della funzione per x che tende a $-oo$ si trova 0.
Punto c.
Il dominio di derivabilità è lo stesso della funzione.
Punto d.
Dal momento che la funzione non è definita nell'intervallo aperto (0,1) le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della medesima sono:
- y è crescente, quando $x<-sqrt(2)/2$
- y è decrescente, quando $-sqrt(2)/2
Punto e.
Stante le conclusioni del punto precedente abbiamo esclusivamente la presenza di un massimo per $x=-sqrt(2)/2$.
Spero che questa volta sia corretto. Pongo, inoltre, una domanda. I punti x=0 e x=1, in cui la funzione è certamente definita, sono da considerarsi minimi (ortodossi)?
Grazie.
"alfredo":
Rettifico.
Punto b.
Un asintoto orizzontale esiste e coincide con l'asse delle x. Infatti, eseguendo il limite della funzione per x che tende a $-oo$ si trova 0.
Grazie.
Per $x rightarrow + infty$ non ci sono invece asintoti perché la tua
funzione $f(x) = e^x sqrt(x^2-x)$ può essere approssimata con
la funzione $g(x) = e^x sqrt(x^2) = e^x x$ ($x > 0$).
E' ovvio che la funzione $xe^x$ non ha rette come asintoti per $x \rightarrow + \infty$..
"franced":
[quote="alfredo"]Rettifico.
Punto b.
Un asintoto orizzontale esiste e coincide con l'asse delle x. Infatti, eseguendo il limite della funzione per x che tende a $-oo$ si trova 0.
Grazie.
Per $x rightarrow + infty$ non ci sono invece asintoti perché la tua
funzione $f(x) = e^x sqrt(x^2-x)$ può essere approssimata con
la funzione $g(x) = e^x sqrt(x^2) = e^x x$ ($x > 0$).
E' ovvio che la funzione $xe^x$ non ha rette come asintoti per $x \rightarrow + \infty$..[/quote]
Possiamo generalizzare:
la funzione $f(x)$ non ha asintoti polinomiali, perché l'esponenziale
cresce più velocemente di qualsiasi polinomio e in più noi abbiamo
la funzione $x \cdot e^x$ che rafforza la crescenza della curva.
Ringrazio gli intervenuti. Per quanto riguarda il resto delle considerazioni, sono corrette?
E la questione sui minimi di cui avevo chiesto?
Grazie.
E la questione sui minimi di cui avevo chiesto?
Grazie.
La caratterizzazione della crescenza-decrescenza della funzione non è ancora del tutto corretta (occhio che $1/sqrt2<1$!!!).
Grazie Taddeo, hai ragione. Devo dire:
Punto d.
Dal momento che la funzione non è definita nell'intervallo aperto (0,1) le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della medesima sono:
- y è crescente, quando $x<-sqrt(2)/2$
- y è decrescente, quando $-sqrt(2)/2
Sul Punto e., è corretto dire che vi è solo la presenza di un massimo? Oppure bisogna aggiungere che vi sono anche due minimi?
Punto d.
Dal momento che la funzione non è definita nell'intervallo aperto (0,1) le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della medesima sono:
- y è crescente, quando $x<-sqrt(2)/2$
- y è decrescente, quando $-sqrt(2)/2
Sul Punto e., è corretto dire che vi è solo la presenza di un massimo? Oppure bisogna aggiungere che vi sono anche due minimi?
Direi che ci sono 2 minimi (relativi). Certo, in quei punti la derivata non esiste ma questo non toglie loro lo status di minimi. 
Una domanda supplementare.
La derivata in $x=0$ e $x=1$ non esiste, però la funzione sì. Ciò significa che la funzione arriva con una certa pendenza nei punti che hanno $x=0$ e $x=1$. Quanto vale questa pendenza?
In altre parole, come sono disposte disposta le tangenti alla funzione nei punti $x=0$ e $x=1$?
Una domanda supplementare.
La derivata in $x=0$ e $x=1$ non esiste, però la funzione sì. Ciò significa che la funzione arriva con una certa pendenza nei punti che hanno $x=0$ e $x=1$. Quanto vale questa pendenza?
In altre parole, come sono disposte disposta le tangenti alla funzione nei punti $x=0$ e $x=1$?
Intorno ai minimi.
Sui minimi volevo chiederti: perchè relativi? Pensavo fossero assoluti.
Intorno alla domanda supplementare.
Innanzitutto ti ringrazio per la domanda. Allora, se vado a calcolarmi la derivata in quei punti ottengo:
$y'(0)=-oo$ e $y'(1)=+oo$
E questo mi porta a concludere che la pendenza della funzione in 0 è: $-pi/2$ e in 1 è: $pi/2$.
Però ho un dubbio. Forse dovrei fare il limite del rapporto incrementale: sinistro nel caso di x=0 e destro nel caso di x=1.
Ma qui mi fermo e ti passo la parola.
Sui minimi volevo chiederti: perchè relativi? Pensavo fossero assoluti.
Intorno alla domanda supplementare.
Innanzitutto ti ringrazio per la domanda. Allora, se vado a calcolarmi la derivata in quei punti ottengo:
$y'(0)=-oo$ e $y'(1)=+oo$
E questo mi porta a concludere che la pendenza della funzione in 0 è: $-pi/2$ e in 1 è: $pi/2$.
Però ho un dubbio. Forse dovrei fare il limite del rapporto incrementale: sinistro nel caso di x=0 e destro nel caso di x=1.
Ma qui mi fermo e ti passo la parola.
Innanzitutto scusami per la risposta tardiva...ma questo fine settimana sono stato preso da altre cose... 
La mia affermazione non esclude il fatto che lo siano, dal momento che i massimi e minimi assoluti sono anche massimi e minimi relativi.
Poiché in questo caso la funzione è sempre non negativa e per $x=0$ e $x=1$ risulta $y=0$ tali minimi relativi sono anche minimi assoluti, non ci piove.
Nel post precedente non avevo fatto questa verifica, ecco perché ho preso la precauzione di specificare il fatto che fossero minimi relativi.
Una doverosa precisazione: la notazione
$y'(0)=-oo$ e $y'(1)=+oo$
non è corretta, dal momento che il simbolo di infinito non rappresenta un numero e che la derivata prima non è definita per $x=0$ e $x=1$.
La scrittura corretta è
$lim_(x->0^-)f'(x)=-oo$ e $lim_(x->1^+)f'(x)=+oo$
Probabilmente queste sono tutte cose che sai, però è bene metterle in chiaro , cosí non permangono pericolose ambiguità...
A parte questo, la tua risposta è corretta.
La domanda nasce dal fatto che è utile capire con quale pendenza una funzione esce da un punto ad un estremo del dominio per tracciare un grafico piú preciso della funzione.
Non è necessario. Il tuo procedimento è corretto.
Tuttavia se uno dei limiti calcolati non esisteva, allora era necessario procedere utilizzando la definizione di derivata. Personalmente però non ho memoria che mi sia mai capitato di doverlo fare...
Buono studio!
"alfredo":
Intorno ai minimi.
Sui minimi volevo chiederti: perchè relativi? Pensavo fossero assoluti.
La mia affermazione non esclude il fatto che lo siano, dal momento che i massimi e minimi assoluti sono anche massimi e minimi relativi.
Poiché in questo caso la funzione è sempre non negativa e per $x=0$ e $x=1$ risulta $y=0$ tali minimi relativi sono anche minimi assoluti, non ci piove.
Nel post precedente non avevo fatto questa verifica, ecco perché ho preso la precauzione di specificare il fatto che fossero minimi relativi.
"alfredo":
Intorno alla domanda supplementare.
Innanzitutto ti ringrazio per la domanda. Allora, se vado a calcolarmi la derivata in quei punti ottengo:
$y'(0)=-oo$ e $y'(1)=+oo$
E questo mi porta a concludere che la pendenza della funzione in 0 è: $-pi/2$ e in 1 è: $pi/2$.
Una doverosa precisazione: la notazione
$y'(0)=-oo$ e $y'(1)=+oo$
non è corretta, dal momento che il simbolo di infinito non rappresenta un numero e che la derivata prima non è definita per $x=0$ e $x=1$.
La scrittura corretta è
$lim_(x->0^-)f'(x)=-oo$ e $lim_(x->1^+)f'(x)=+oo$
Probabilmente queste sono tutte cose che sai, però è bene metterle in chiaro , cosí non permangono pericolose ambiguità...
A parte questo, la tua risposta è corretta.
La domanda nasce dal fatto che è utile capire con quale pendenza una funzione esce da un punto ad un estremo del dominio per tracciare un grafico piú preciso della funzione.
"alfredo":
Però ho un dubbio. Forse dovrei fare il limite del rapporto incrementale: sinistro nel caso di x=0 e destro nel caso di x=1.
Non è necessario. Il tuo procedimento è corretto.
Tuttavia se uno dei limiti calcolati non esisteva, allora era necessario procedere utilizzando la definizione di derivata. Personalmente però non ho memoria che mi sia mai capitato di doverlo fare...
Buono studio!
Innanzitutto scusami per la risposta tardiva...ma questo fine settimana sono stato preso da altre cose...
Non ti preoccupare, non ho fretta.
Ti ringrazio, soprattutto per le precisazioni: sto cercando di mettere a posto anche il linguaggio (che è sia forma che sostanza) e le tue affermazioni mi sono di grande aiuto.
Grazie ancota Taddeo, alla prossima.
Di niente.
Alla prossima!
Alla prossima!
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