Un semplice integrale... che non riesco a risolvere! :evil:
Sembra così semplice... magari la senilità precoce. Abbiamo un vettore costante $v$, voglio calcolare:
$ \int_{S_1} |n\cdot v| d\sigma $
essendo $S_1$ la sfera unitaria in $RR^3$ (solo il guscio) e $n$ la normale esterna a tale sfera... quello che mi rompe è quel maledetto modulo. Ho provato a passare ad un sistema di coordinate date dai vettori $(a,b,\hat{v})$ ottenuti usando Gram-Smith per ottenere una base ortonormale che abbia anche $\hat{v}$, il versore con la stessa direzione di $v$, fra le coordinate.
Ma o perché sono troppo scarso in Alg. Lineare o perché non mi ricordo più gli integrali di superficie non riesco a cavarci fuori nulla!
$ \int_{S_1} |n\cdot v| d\sigma $
essendo $S_1$ la sfera unitaria in $RR^3$ (solo il guscio) e $n$ la normale esterna a tale sfera... quello che mi rompe è quel maledetto modulo. Ho provato a passare ad un sistema di coordinate date dai vettori $(a,b,\hat{v})$ ottenuti usando Gram-Smith per ottenere una base ortonormale che abbia anche $\hat{v}$, il versore con la stessa direzione di $v$, fra le coordinate.
Ma o perché sono troppo scarso in Alg. Lineare o perché non mi ricordo più gli integrali di superficie non riesco a cavarci fuori nulla!

Risposte
supponiamo che il vettore $vecv$, di modulo v, coincida con l'asse delle z
il prodotto scalare tra la normale esterna alla sfera e v è
$ = vcostheta$
quindi l'integrale è $ \int_{S_1} |n\cdot v| d\sigma = int _0 ^ (2pi) int_0 ^ (pi) |v costheta| R^2 sintheta d theta dphi$
se non ho sbagliato i conti dovrebbe risultare $2piR^2v$
spero che la fretta non m'abbia fatto prendere un abbaglio
il prodotto scalare tra la normale esterna alla sfera e v è
$
quindi l'integrale è $ \int_{S_1} |n\cdot v| d\sigma = int _0 ^ (2pi) int_0 ^ (pi) |v costheta| R^2 sintheta d theta dphi$
se non ho sbagliato i conti dovrebbe risultare $2piR^2v$
spero che la fretta non m'abbia fatto prendere un abbaglio

Grazie per la reply, purtroppo non ti so dire se sia giusto o no... questo calcolo era parte di un calcolo più grosso che ovviamente non mi esce per cui... è un integrale ottuplice... sostituendo il tuo risultato, che credo sia giusto viene fuori(*):
$1/(8\pi) \int_{RR^3} 1/(2\pi)^(3/2) v e^{-v^2} dv_x dv_y dv_z $
il risultato finale alla fine dovrebbe essere $sqrt(2/pi)$. Quindi da una parte sono contento che sia sparito l'integrale sulla sfera, dall'altra ora quel $v$ li mi rompe!
Non poteva uscire che so qualcosa con $v^2$!
Beh se avrò tempo mi metterò a provare a risolvere questo e poi ti faccio sapere... ora ho da studiare per un esame che ho Martedì... quindi non ho molto tempo da dedicare a questo calcolo... eventualmente ci provo Mercoledì mattina...
----------------
(*) un altro pezzo su $RR^3$ lo ho già sistemato io.
$1/(8\pi) \int_{RR^3} 1/(2\pi)^(3/2) v e^{-v^2} dv_x dv_y dv_z $
il risultato finale alla fine dovrebbe essere $sqrt(2/pi)$. Quindi da una parte sono contento che sia sparito l'integrale sulla sfera, dall'altra ora quel $v$ li mi rompe!

Non poteva uscire che so qualcosa con $v^2$!

Beh se avrò tempo mi metterò a provare a risolvere questo e poi ti faccio sapere... ora ho da studiare per un esame che ho Martedì... quindi non ho molto tempo da dedicare a questo calcolo... eventualmente ci provo Mercoledì mattina...
----------------
(*) un altro pezzo su $RR^3$ lo ho già sistemato io.
Che idiota che sono... questo è facile basta passare in sferiche!

$1/(8\pi) * 1/(2\pi)^(3/2) int_(RR^3) v e^(-v^2) v^2 dv dOmega$
abbiamo poi un buon vecchio integrale maxwelliano (*)
$ int_0 ^(+oo) v^3 e^(-v^2) dv = 1/2$
quindi il risultato finale è ad occhio $2^(-5/2)pi^(-1/2)$
bah!
(*) è davvero un problema di fisica statistica per caso?
abbiamo poi un buon vecchio integrale maxwelliano (*)
$ int_0 ^(+oo) v^3 e^(-v^2) dv = 1/2$
quindi il risultato finale è ad occhio $2^(-5/2)pi^(-1/2)$
bah!
(*) è davvero un problema di fisica statistica per caso?
Si meccanica statistica... 
Non sono proprio bravo per nulla a fare questi conti...
Hai ragione anche in questo caso: viene lo stesso anche a me.
In effetti c'è un errore a monte, rifacendo tutti i conti sono riuscito a tirare fuori il risultato esatto e viene effettivamente questo famoso $\sqrt(2/\pi)$. Ne deduco che il tuo calcolo di prima era giusto.
Per la cronaca il conto era il numero di collisioni in unità riscalate in modo che $\sqrt{RT}=1$ e $\sigma^2=1/(\sqrt{2}\pi n)$.
Grazie ancora per l'aiuto!

Non sono proprio bravo per nulla a fare questi conti...
Hai ragione anche in questo caso: viene lo stesso anche a me.
In effetti c'è un errore a monte, rifacendo tutti i conti sono riuscito a tirare fuori il risultato esatto e viene effettivamente questo famoso $\sqrt(2/\pi)$. Ne deduco che il tuo calcolo di prima era giusto.
Per la cronaca il conto era il numero di collisioni in unità riscalate in modo che $\sqrt{RT}=1$ e $\sigma^2=1/(\sqrt{2}\pi n)$.
Grazie ancora per l'aiuto!