Un semplice (?) integrale. altre vie per risolverlo?
ciao a tutti,
scusatemi, ogni tanto mi sembra di cascare dal pero...
mi dareste qualche suggerimento su come integrare il seguente:
[tex]\int_{a}^{b} dx \sqrt{1 + x^2}[/tex]
senza passare per la trigonometria iperbolica (ponendo ad esempio: [tex]x = sinH (t)[/tex])?
se integro per parti considerando l'integranda come se fosse moltiplicata per [tex]1=x'[/tex], mi ritrovo una radice al denominatore che non mi semplifica affatto l'integrale
stessa cosa se sostituisco il radicando con un [tex]t^2[/tex].
c'è un'altra via insomma oltre alle funzioni trigonometriche (iperboliche)? perchè ho sotto il naso qualche appunto di un mio compagno di corso che risolve questo integrale senza alcun passaggio intermedio...
conoscendolo però, lo avrà risolto una sola volta in vita sua e da allora va a memoria...
un aiutino?
scusatemi, ogni tanto mi sembra di cascare dal pero...
mi dareste qualche suggerimento su come integrare il seguente:
[tex]\int_{a}^{b} dx \sqrt{1 + x^2}[/tex]
senza passare per la trigonometria iperbolica (ponendo ad esempio: [tex]x = sinH (t)[/tex])?
se integro per parti considerando l'integranda come se fosse moltiplicata per [tex]1=x'[/tex], mi ritrovo una radice al denominatore che non mi semplifica affatto l'integrale
stessa cosa se sostituisco il radicando con un [tex]t^2[/tex].
c'è un'altra via insomma oltre alle funzioni trigonometriche (iperboliche)? perchè ho sotto il naso qualche appunto di un mio compagno di corso che risolve questo integrale senza alcun passaggio intermedio...
conoscendolo però, lo avrà risolto una sola volta in vita sua e da allora va a memoria...
un aiutino?
Risposte
Poni $\sqrt{1+x^2}=x+t$ e ricava la $x$ svolgendo i quadrati.
o.o
c'è dell'incredibile che sfocia quasi in un assurdo in questo integrale o.o
usando la sostituzione che mi hai suggerito, arrivo all'integrale:
[tex]\frac {-1}{4}\int{dt \frac{(t^2+1)^2}{t^2}}[/tex]
se non ho preso una cantonata, e quindi l'integrale è corretto, la sua primitiva non ha niente a che fare coi logaritmi! o.o
una cosa che non mi aspettavo affatto! o.o
perchè sia usando le funzioni trigonometriche, sia usando la formuletta (presa chissà dove -.-) del mio amico, di mezzo c'è comunque un logaritmo!
ho sbagliato qualcosa o è giusto che la soluzione da te proposta, porti ad una primitiva che niente ha a che fare col logaritmo!?
la cosa mi lascia parecchio perplesso, perchè... se ho un integrale definito, la tua sostituzione non mi porta comunque ad avere logaritmi negli estremi di integrazione, e quindi non c'è modo che nel risultato compaia un logaritmo.mentre la sostituzione che faccio io con le funzioni iperboliche porta necessariamente ad un logaritmo anche già solo negli estremi di integrazione, e quindi compare pure nel risultato!
è follia o magia matematica? o.o
c'è dell'incredibile che sfocia quasi in un assurdo in questo integrale o.o
usando la sostituzione che mi hai suggerito, arrivo all'integrale:
[tex]\frac {-1}{4}\int{dt \frac{(t^2+1)^2}{t^2}}[/tex]
se non ho preso una cantonata, e quindi l'integrale è corretto, la sua primitiva non ha niente a che fare coi logaritmi! o.o
una cosa che non mi aspettavo affatto! o.o
perchè sia usando le funzioni trigonometriche, sia usando la formuletta (presa chissà dove -.-) del mio amico, di mezzo c'è comunque un logaritmo!
ho sbagliato qualcosa o è giusto che la soluzione da te proposta, porti ad una primitiva che niente ha a che fare col logaritmo!?
la cosa mi lascia parecchio perplesso, perchè... se ho un integrale definito, la tua sostituzione non mi porta comunque ad avere logaritmi negli estremi di integrazione, e quindi non c'è modo che nel risultato compaia un logaritmo.mentre la sostituzione che faccio io con le funzioni iperboliche porta necessariamente ad un logaritmo anche già solo negli estremi di integrazione, e quindi compare pure nel risultato!
è follia o magia matematica? o.o
Vediamo: [tex]$\sqrt{1+x^2}=x+t\ \Rightarrow\ 1+x^2=x^2+2xt+t^2$[/tex] e quindi [tex]$x=\frac{1-t^2}{2t}$[/tex], da cui si ha pure [tex]$dx=-\frac{1+t^2}{2t^2}\ dt$[/tex]. Inoltre
[tex]$\sqrt{1+x^2}=x+t=\frac{1-t^2}{2t}+t=\frac{1+t^2}{2t}$[/tex]
e pertanto, detti $t_a=\sqrt{1+a^2}-a,\ t_b=\sqrt{1+b^2}-b$ l'integrale diventa
[tex]$-\int_{t_a}^{t_b}\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{1+t^2}{2t^2}\ dt=-\frac{1}{4}\int_{t_a}^{t_b}\frac{(1+t^2)^2}{t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{1}{t^3}+\frac{2}{t}+t\right)\ dt$[/tex]
Il secondo addendo nella parentesi fornisce il logaritmo.
[tex]$\sqrt{1+x^2}=x+t=\frac{1-t^2}{2t}+t=\frac{1+t^2}{2t}$[/tex]
e pertanto, detti $t_a=\sqrt{1+a^2}-a,\ t_b=\sqrt{1+b^2}-b$ l'integrale diventa
[tex]$-\int_{t_a}^{t_b}\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{1+t^2}{2t^2}\ dt=-\frac{1}{4}\int_{t_a}^{t_b}\frac{(1+t^2)^2}{t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{1}{t^3}+\frac{2}{t}+t\right)\ dt$[/tex]
Il secondo addendo nella parentesi fornisce il logaritmo.
oooooook! ^^
mi ero perso una t. in particolare la t che appare al denominatore di x+t, dopo aver sostituito la x! ^^
continuo a far errori di questo tipo da qualche settimana... mi sa che sarei dovuto andare un po' in vacanza invece di continuare a studiare ininterrottamente finora (beh... mi son preso una settimanella di riposo dopo un esame a fine luglio ^^" )
grazie allora
risolto.
anche se ora voglio proprio sapere dal tizio mio amico dove ha trovato quella formuletta >_>
mi ero perso una t. in particolare la t che appare al denominatore di x+t, dopo aver sostituito la x! ^^
continuo a far errori di questo tipo da qualche settimana... mi sa che sarei dovuto andare un po' in vacanza invece di continuare a studiare ininterrottamente finora (beh... mi son preso una settimanella di riposo dopo un esame a fine luglio ^^" )
grazie allora
risolto.
anche se ora voglio proprio sapere dal tizio mio amico dove ha trovato quella formuletta >_>
Perchè.... le funzioni iperboliche non vanno bene ?
IL tizio mi sa che ha preso la formuletta proprio svolgendo con le f. iperboliche.
IL tizio mi sa che ha preso la formuletta proprio svolgendo con le f. iperboliche.
è che io ottengo risultati che sono un groviglio di logaritmo e frazioni. lui ottiene un groviglio simile (cioè sempre logaritmo e frazioni) ma messi in altro modo, con altri numeri.
è possibile che i due risultati coincidano: non ne ho fatta la prova.
oppure semplicemente mi perdo qualcosa durante lo svolgimento dell'esercizio...
il mio cervello è davvero in uno stato di semiapnea da qualche settimana -.-
riesco a studiare la teoria, pure ad applicarla, ma dimentico dietro sempre qualche pezzo negli esercizi -.-
stanchezza? mah. sarà il caldo... boh! in genere non faccio così tanti errori o.o
riguarderò qualche esercizio in cui c'è un integrale nella forma di quello di cui ho parlato qui. lo risolvo mille volte a modo mio, e poi confronto il risultato che è uscito più frequentemente col suo
è possibile che i due risultati coincidano: non ne ho fatta la prova.
oppure semplicemente mi perdo qualcosa durante lo svolgimento dell'esercizio...
il mio cervello è davvero in uno stato di semiapnea da qualche settimana -.-
riesco a studiare la teoria, pure ad applicarla, ma dimentico dietro sempre qualche pezzo negli esercizi -.-
stanchezza? mah. sarà il caldo... boh! in genere non faccio così tanti errori o.o
riguarderò qualche esercizio in cui c'è un integrale nella forma di quello di cui ho parlato qui. lo risolvo mille volte a modo mio, e poi confronto il risultato che è uscito più frequentemente col suo
E ' il caldo! E' il caldo!
Cmq ci sia arriva tranquillamente anche con le f. iperboliche, bisogna fare attenzione appunto a non paciugare con i logaritmi.
Cmq ci sia arriva tranquillamente anche con le f. iperboliche, bisogna fare attenzione appunto a non paciugare con i logaritmi.
ma io lo so fare con le funzioni trigonometriche eh.
solo che non mi pare che il mio amico sia passato di lì, sembra piuttosto che abbia usato una integrazione per parti. in una pagina dei suoi appunti, questo integrale è risolto in, udite udite, con UN SOLO passaggio intermedio. in tutte le altre pagine c'è solo l'integrale e, dopo l'uguale, viene incollata la soluzione.
in quella pagina ho visto bene un integrazione per parti, ma che era insensata. cioè ha tirato fuori un logaritmo da una cosa che NON è un logaritmo o.o
gli ho inviato una email. vediamo cosa mi dirà. intanto DOMANI (anche a me viene sonno ) vedrò di ritrovare quella pagina e di farvi partecipe di quei 3 passaggi.
edit:
ah... quinzi, non mi prendere in giro ._.
in genere riesco davvero a calcolare integraloni anche senza compiere errori ._.
in sti giorni sono proprio arrivato al punto che l'integrale di $x^2$ è $x^3/2$ -.-
solo che non mi pare che il mio amico sia passato di lì, sembra piuttosto che abbia usato una integrazione per parti. in una pagina dei suoi appunti, questo integrale è risolto in, udite udite, con UN SOLO passaggio intermedio. in tutte le altre pagine c'è solo l'integrale e, dopo l'uguale, viene incollata la soluzione.
in quella pagina ho visto bene un integrazione per parti, ma che era insensata. cioè ha tirato fuori un logaritmo da una cosa che NON è un logaritmo o.o
gli ho inviato una email. vediamo cosa mi dirà. intanto DOMANI (anche a me viene sonno
) vedrò di ritrovare quella pagina e di farvi partecipe di quei 3 passaggi.edit:
ah... quinzi, non mi prendere in giro ._.
in genere riesco davvero a calcolare integraloni anche senza compiere errori ._.
in sti giorni sono proprio arrivato al punto che l'integrale di $x^2$ è $x^3/2$ -.-
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