Un quesito di analisi
sia $f: RR to RR$ continua su $RR$, di classe $c^2(RR)$ e sia $f''(x) > 2$ per ogni $x$. Si stabilisca quali delle seguenti affermazioni sono sempre vere.
a) $lim_(xto+oo)f(x) = +oo$
b) $lim_(xto-oo)f(x) = -oo$
c) $f(0) = 0$
d) $ f(2003) > 0$
Allora, per prima cosa vediamo la b) per la quale ho trovato un controesempio, ovvero la funzione $y= e^x+x^2$, si verifica facilmente che ha la derivata seconda sempre maggiore di 2 e inoltre $lim_(xto-oo) e^x+x^2 = +oo$. Per la c) vale lo stesso controesempio precedente, infatti $f(0) = e^0+0^2 = 1$. Le uniche proposizioni che non sono riuscito a controprovare sono la a) e la d) sui cui ho qualche sospetto. In generale i controesempi li ho trovati in un modo che non mi pare forse correttissimo ma che apparentemente funziona. Cioè so che deve essere $f''(x)>2$ e qui ho integrato due volte ambo i membri per trovare $f(x)>x^2 +c$. Ovvero le funzioni che hanno sicuramente derivata seconda maggiore di 2 per ogni $x$ sono la somma di una funzione sempre maggiore di $0$ o al limite una costante positiva, più $x^2$. Mi sembra un procedimento non rigorosissimo a occhio ma che effettivamente funziona, non ho la certezza però che queste siano TUTTE le funzioni con derivata seconda sempre maggiore di $2$. Però tutte le funzioni che si trovano in questo modo soddisfano la a) mentre sulla d) ho qualche dubbio in più. Qualcuno che mi indichi un modo più sicuro? (se esiste^^)
a) $lim_(xto+oo)f(x) = +oo$
b) $lim_(xto-oo)f(x) = -oo$
c) $f(0) = 0$
d) $ f(2003) > 0$
Allora, per prima cosa vediamo la b) per la quale ho trovato un controesempio, ovvero la funzione $y= e^x+x^2$, si verifica facilmente che ha la derivata seconda sempre maggiore di 2 e inoltre $lim_(xto-oo) e^x+x^2 = +oo$. Per la c) vale lo stesso controesempio precedente, infatti $f(0) = e^0+0^2 = 1$. Le uniche proposizioni che non sono riuscito a controprovare sono la a) e la d) sui cui ho qualche sospetto. In generale i controesempi li ho trovati in un modo che non mi pare forse correttissimo ma che apparentemente funziona. Cioè so che deve essere $f''(x)>2$ e qui ho integrato due volte ambo i membri per trovare $f(x)>x^2 +c$. Ovvero le funzioni che hanno sicuramente derivata seconda maggiore di 2 per ogni $x$ sono la somma di una funzione sempre maggiore di $0$ o al limite una costante positiva, più $x^2$. Mi sembra un procedimento non rigorosissimo a occhio ma che effettivamente funziona, non ho la certezza però che queste siano TUTTE le funzioni con derivata seconda sempre maggiore di $2$. Però tutte le funzioni che si trovano in questo modo soddisfano la a) mentre sulla d) ho qualche dubbio in più. Qualcuno che mi indichi un modo più sicuro? (se esiste^^)
Risposte
I controesempi sono ricavati in maniera corretta.
Nota che, sommando un'opportuma costante $c<0$ (molto grande, in verità!!!) alla funzione $e^x+x^2$, puoi fare in modo che $f(2003)<0$ e però $f''$ continua a rimanere $>2$: quindi nemmeno la d) è vera in generale.
L'unica alternativa rimasta è la a).
Nota che, sommando un'opportuma costante $c<0$ (molto grande, in verità!!!) alla funzione $e^x+x^2$, puoi fare in modo che $f(2003)<0$ e però $f''$ continua a rimanere $>2$: quindi nemmeno la d) è vera in generale.
L'unica alternativa rimasta è la a).
giusto cercavo cose complicate quando la risposta era semplice. Grazie!
Per dimostrare che la a è vera (unico punto rimasto aperto) si può procedere per esempio così.
In base alla formula di Mac-Laurin con il resto secondo lagrange, per ogni x>0 risulta:
$ f(x)=f(0)+f'(0)*x+1/2x^2f''(c) $ con c appartenente all'intervallo [0,x]
Ora, poichè sappiamo che $f''(x)>2$ per ogni x , abbiamo:
$ f(x)=f(0)+f'(0)*x+1/2x^2*f''(c) >f(0)+f'(0)*x+x^2$
Passando al limite per x che tende a più infinito, il secondo membro tende a più infinito, quindi anche f(x) tende a più infinito per il teorema del confronto.
In base alla formula di Mac-Laurin con il resto secondo lagrange, per ogni x>0 risulta:
$ f(x)=f(0)+f'(0)*x+1/2x^2f''(c) $ con c appartenente all'intervallo [0,x]
Ora, poichè sappiamo che $f''(x)>2$ per ogni x , abbiamo:
$ f(x)=f(0)+f'(0)*x+1/2x^2*f''(c) >f(0)+f'(0)*x+x^2$
Passando al limite per x che tende a più infinito, il secondo membro tende a più infinito, quindi anche f(x) tende a più infinito per il teorema del confronto.
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