Un punto di accumulazione di una successione è un cluster

[marco2132k]

Dubbio scemo: se ho una successione \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) a valori in uno spazio topologico qualsiasi, e prendo un punto di accumulazione di \( b \) di \( \{x_n : n\in \mathbb N\} \), è vero o no che c'è una sottosuccessione di \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) che si schianta su \( b \)? E se lo spazio lo prendo metrizzabile?

[dissonance]

Stai chiedendo se la chiusura per successioni contiene la chiusura topologica. Nel caso metrizzabile é vero e anzi le due chiusure coincidono. Stesso discorso per spazi primo numerabili. Nel caso generale, la chiusura per successioni é contenuta nella chiusura topologica, ma il viceversa (quello che chiedi tu) non vale. Non ti so fare un esempio adesso, queste cose si capiscono meglio con il concetto di "rete" (net). Sicuramente ci sará da scomodare qualche ordinale.

[marco2132k]

Il problema con gli spazi (facciamo) metrici è che so dimostrare che, se \( b \) è di accumulazione per \( \{x_n : n\in \mathbb N\} \), allora c'è una successione di punti di \( \{x_n : n\in \mathbb N\} \) che converge a \( b \), ma non riesco a far vedere che c'è una sottosuccessione di \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) che fa la stessa cosa.

Nella dimostrazione coma la farei io (che è super classica), dovrei costruire suddetta sottosuccessione ponendo
\[
n_k = \begin{cases}
0 & k = 0\\
\min\{n : n > n_{k - 1} : d(x_n,b) < 1/k\} & K\geqq 1
\end{cases}
\] con ovvio contesto e significato dei simboli, ma non so se è vero che per ogni \( k\in \mathbb N \) l'insieme
\[
\{n : {\color{red}n > n_{k - 1}}, d(x_n,b) < 1/k\}
\] è \( \neq\emptyset \). (Per avere una sottosuccessione non mi bastano un po' di punti a caso; devo prenderli mediante una \( \sigma\colon \mathbb N\to \mathbb N \) strettamente crescente).

[otta96]

Ma perchè dici che non sai se è non vuoto? Hai assunto che il punto sia di accumulazione, quindi quell'insieme non è vuoto.
Comunque vale quello che dice dissonance, e gli spazi in cui vale questa proprietà si chiamano di Frechèt-Urysohn. Un esempio si può avere prendendo uno spazio numerabile ma uno-numerabile come lo spazio di Arens-Fort.

[marco2132k]

Prendi una successione \( (x_n)_n \) a valori in un metrico. Prendi \( b \) di accumulazione per \( \{x_n : n\in \mathbb N\} \). Per \( k = 1 \) poni \( n_k \) pari al più piccolo \( n\in \mathbb N \) per cui \( x_n\in B(b,1) \); per \( k = 2 \) poni \( n_k \) pari al più piccolo \( n\in \mathbb N \), \( \color{red}n > n_1 \) tale che \( x_n\in B(b,1/2) \); per \( k = 3 \) poni \( n_k \) pari al più piccolo \( n\in \mathbb N \) tale che \( \color{red}n > n_2 \) per cui \( x_n\in B(b,1/3) \); ecc.

Ma chi mi dice che, ad esempio, tutti gli \( n\in \mathbb N \) tali che \( x_n\in B(b,1/3) \) non siano minori o uguali a \( n_2 \)?

Forse ho capito come concludere: quello che ho scritto qua sopra può succedere solo se \( b\in \{x_n : n\in \mathbb N\} \); se così non è, dovrebbe venire fuori un assurdo. Ci penso domani.

gli spazi in cui vale questa proprietà si chiamano di Frechèt-Urysohn

Grazie!

[otta96]

"marco2132k":Ma chi mi dice che, ad esempio, tutti gli \( n\in \mathbb N \) tali che \( x_n\in B(b,1/3) \) non siano minori o uguali a \( n_2 \)?

Il fatto che l'intorno di un punto di accumulazione di un insieme in uno spazio $T_1$ contiene infiniti elementi di quell'insieme.

[marco2132k]

Fatto, grazie di nuovo!