Un problema simpatico...

[gugo82]

Vi propongo un problema divertente.

Sia $f:RR -> RR$ una funzione sviluppabile in serie di Taylor in $0$.
Dire se esiste un'altra funzione $g:RR\to RR$ distinta da $f$ che abbia la stessa serie di Taylor di $f$ in $0$.

Spero che qualcuno dei giovani voglia partecipare.

[Fioravante Patrone1]

"Gugo82":
Spero che qualcuno dei giovani voglia partecipare.

peccato...

[thedarkhero]

Avere la stessa formula di Taylor significa avere derivata n-sima in 0 uguale per ogni n naturale. Inoltre serve avere lo stesso valore in 0.
Se per la prima condizione è sufficiente prendere una funzione f e definire la g come f traslata verticalmente, la seconda condizione impone che la traslazione sia nulla, no?
Quindi mi verrebbe da dire di no...anche se probabilmente se l'hai postato un motivo c'è

[adaBTTLS1]

una funzione di questo genere è valida?
$g(x)={[f(x)," if " -1<=x<=1],["come vuoi, basta che sia diversa da f(x), if " (x<-1 vv x>1)] :}$

ciao da una "vecchietta"

[rubik2]

spoiler anche per me

consideriamo $h(x)={(0, if x<=0),(e^(-1/x), if x>0):}$
con qualche conto si vede che h è derivabile infinite volte nell'origine con derivata zero (sperando di non aver sbagliato niente)
la funzione $g(x)=h(x)+f(x)$ ha la stessa serie di taylor ma non coincide con f, funziona?

[Thomas16]

credo cmq che si possa dire che due funzioni analitiche reali che possiedono medesima serie di taylor in zero coincidono su tutto R...

naturalmente ciò non toglie nulla ai contro-esempi dati

[gugo82]

"adaBTTLS":

una funzione di questo genere è valida?
$g(x)={[f(x)," if " -1<=x<=1],["come vuoi, basta che sia diversa da f(x), if " (x<-1 vv x>1)] :}$

ciao da una "vecchietta"

Vabbè, troppo facile così...
Errore mio: avrei dovuto specificare che la funzione la volevo almeno di classe $C^oo$ in $RR$.

"Thomas":credo cmq che si possa dire che due funzioni analitiche reali che possiedono medesima serie di taylor in zero coincidono su tutto $RR$...

Questo è il Principio d'identità per le funzioni analitiche.
Però data la natura del problema eravamo, alla fin fine, in cerca di un controesempio al suddetto principio; perciò era evidente che la $g$ non andava ricercata tra le funzioni analitiche.

"rubik":spoiler anche per me

consideriamo $h(x)={(0, if x<=0),(e^(-1/x), if x>0):}$
con qualche conto si vede che h è derivabile infinite volte nell'origine con derivata zero (sperando di non aver sbagliato niente)
la funzione $g(x)=h(x)+f(x)$ ha la stessa serie di taylor ma non coincide con f, funziona?

Ok, decisamente buono e classico.

Suggerisco una variante che, per solidarietà, metto in spoiler:

Ovviamente, il trucco è trovare una funzione che sia $C^oo$, che in $0$ abbia nulle tutte le derivate e che, però, non sia identicamente nulla in $RR$.
Si può allora prendere $g(x):=f(x)+c*h(x)$, ove $c\in RR$ ed $h$ è l'applicazione definita appresso:

$h(x):=\{(e^(-1/x^2), ", se "x!=0),(0, ", se " x=0):}$

Ciò mostra che esiste almeno un continuo di tali funzioni.

[gugo82]

Ne aggiungo un altro, facile facile.

Esiste una parte $A\subseteq RR$ tale che $"sup "A<"inf "A$?

[Sk_Anonymous]

Questa credo di saperla pure io

Basta considerare l'insieme vuoto. Infatti l'estremo inferiore è più infinito, mentre l'estremo superiore è meno infinito.

[Fioravante Patrone1]

Con un po' di convenzioni usuali...
Ricordo che tipicamente il sup è definito come il minimo dei maggioranti. Ergo, se l'insieme è vuoto, ogni reale è maggiorante, ma non mi risulta che ci sia il minimo numero reale. Quindi si lavora "per forza" in $RR$ esteso.
E serve anche la solita estensione del $<$ da $RR$ a $RR$ esteso, perché Gugo possa usare quel simbolo senza essere crocifisso dai suoi simili.