Un problema di massimo
Siano x ed y due variabili reali e positive, legate dalla relazione 2x+3y=1
Senza ricorrere al Calcolo determinare il massimo della funzione
$f(x,y)=x^3y^4$
karl
Senza ricorrere al Calcolo determinare il massimo della funzione
$f(x,y)=x^3y^4$
karl
Risposte
si tratta di determinare il massimo della funzione
$f(x)=x^3((1-2x)/3)^4$
la cui derivata è
$f^{\prime}(x)=x^3/27((1-2x)^4+(1-2x)^3)$
il massimo dovrebbe essere $1$
$f(x)=x^3((1-2x)/3)^4$
la cui derivata è
$f^{\prime}(x)=x^3/27((1-2x)^4+(1-2x)^3)$
il massimo dovrebbe essere $1$
"eafkuor":
si tratta di determinare il massimo della funzione
$f(x)=x^3((1-2x)/3)^4$
la cui derivata è
$f^{\prime}(x)=x^3/27((1-2x)^4+(1-2x)^3)$
il massimo dovrebbe essere $1$
non devi usare il calcolo differenziale (karl l'ha esplicitamente detto), altrimenti è facile... tra l'altro poi il valore esatto non è 1, ma un numero di gran lunga inferiore
Il massimo della funzione si ha nel punto $M(3/14;f(3/14))$ non nel punto $M(1,f(1))$
"Kroldar":
non devi usare il calcolo differenziale (karl l'ha esplicitamente detto), altrimenti è facile...
hai ragione! scusate
"eafkuor":
[quote="Kroldar"]
non devi usare il calcolo differenziale (karl l'ha esplicitamente detto), altrimenti è facile...
hai ragione! scusate[/quote]
scusate? e di che? non hai compiuto mica un reato punibile con la pena di morte!!
Non si può utilizzare neanche la relazione tra media aritmetica e media geometrica perchè viene fuori un binomio elevato alla sesta ...esiste sicuramente un metodo più semplice.
@Giuseppe87x
Invece sei sulla buona strada!!
karl
Invece sei sulla buona strada!!
karl
Ricordo la relazione tra media geometrica di n numeri $x_i>0$
e la corrispondente media aritmetica:
$root[n](x_1x_2...x_n) <= (x_1+x_2+...+x_n)/n$
Oppure:
(1) $x_1x_2...x_n <= [(x_1+x_2+...+x_n)/n]^n$
ed il prodotto e' masssimo quando tutti i fattori sono uguali.
Osserviamo che la nostra f(x) si puo' anche scrivere cosi':
$f(xy)=x^3y^4=(2^5)/3[ ((2x)/3)*((2x)/3)* ((2x)/3)* ((3y)/4)* ((3y)/4)*((3y)/4)*((3y)/4)]$
Ora nella parentesi quadra compare il prodotto di 7 fattori ed applicando
quindi la (1) con n=7 risulta:
$x^3y^4<=(2^5)/3*[(3*((2x)/3)+4*((3y)/4))/7]^7=(2^5)/3*[(2x+3y)/7]^7=(2^5)/(3*7^7)$
Si vede quindi che il massimo richiesto e' $(2^5)/(3*7^7)$ assunto quando
i 7 fattori sono tutti eguali ,ovvero quando e' $(2x)/3=(3y)/4$ .Questa relazione
insieme con quella data 2x+3y=1 porta al punto $x=3/(14),y=4/(21)$
karl
e la corrispondente media aritmetica:
$root[n](x_1x_2...x_n) <= (x_1+x_2+...+x_n)/n$
Oppure:
(1) $x_1x_2...x_n <= [(x_1+x_2+...+x_n)/n]^n$
ed il prodotto e' masssimo quando tutti i fattori sono uguali.
Osserviamo che la nostra f(x) si puo' anche scrivere cosi':
$f(xy)=x^3y^4=(2^5)/3[ ((2x)/3)*((2x)/3)* ((2x)/3)* ((3y)/4)* ((3y)/4)*((3y)/4)*((3y)/4)]$
Ora nella parentesi quadra compare il prodotto di 7 fattori ed applicando
quindi la (1) con n=7 risulta:
$x^3y^4<=(2^5)/3*[(3*((2x)/3)+4*((3y)/4))/7]^7=(2^5)/3*[(2x+3y)/7]^7=(2^5)/(3*7^7)$
Si vede quindi che il massimo richiesto e' $(2^5)/(3*7^7)$ assunto quando
i 7 fattori sono tutti eguali ,ovvero quando e' $(2x)/3=(3y)/4$ .Questa relazione
insieme con quella data 2x+3y=1 porta al punto $x=3/(14),y=4/(21)$
karl
Eccomi ritornato...
Karl io mi sono fermato proprio a qual binomio elevato a $7$; non capisco perchè il massimo debba essere proprio $2^5/(3*7^7$.
Karl io mi sono fermato proprio a qual binomio elevato a $7$; non capisco perchè il massimo debba essere proprio $2^5/(3*7^7$.
Se $x^3y^4<= (2^5)/(3*7^7)$ mi pare chiaro che la funzione
non puo' superare $(2^5)/(3*7^7)$ e lo raggiunge solo quando $(2x)/3=(3y)/4$.
Oltre non puo andare ,ovvero il massimo e' proprio quello.
karl
non puo' superare $(2^5)/(3*7^7)$ e lo raggiunge solo quando $(2x)/3=(3y)/4$.
Oltre non puo andare ,ovvero il massimo e' proprio quello.
karl
Hai ragione, scusa per la stupida domanda.
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