Un problema di cauchy con equazione del 2o ordine
ciao a tutti,
mi dareste una mano con un problema di cauchy?
sottintendendo [tex]y = y(x)[/tex], ho il sistema:
[tex]\begin{cases}y'' = x + y^2 \\ y(0) = 0 \\ y'(0) = 1 \end{cases}[/tex]
ho ipotizzato che la soluzione abbia la forma [tex]\sum \frac{y^{(k)}(0)}{k!}x^k[/tex], e trovo così: [tex]y = x + \frac{x^3}{6}[/tex]. questa soddisfa le condizioni al contorno, ma non ha derivata seconda uguale a quella data...
qualche idea? io proprio capisco poco e niente sti esercizi ._.
mi dareste una mano con un problema di cauchy?
sottintendendo [tex]y = y(x)[/tex], ho il sistema:
[tex]\begin{cases}y'' = x + y^2 \\ y(0) = 0 \\ y'(0) = 1 \end{cases}[/tex]
ho ipotizzato che la soluzione abbia la forma [tex]\sum \frac{y^{(k)}(0)}{k!}x^k[/tex], e trovo così: [tex]y = x + \frac{x^3}{6}[/tex]. questa soddisfa le condizioni al contorno, ma non ha derivata seconda uguale a quella data...
qualche idea? io proprio capisco poco e niente sti esercizi ._.
Risposte
Scusa ziel, ma avete fatto il metodo di soluzione per serie? Oppure hai improvvisato?
se lo abbiamo fatto?
questo è il contenuto degli appunti miei e di un mio compagno. seguito dall'esercizio che ho scritto che, secondo il docente, ha proprio quella che ho scritto come soluzione.
questo è tutto ciò che abbiamo fatto su quel metodo di risoluzione.
dato [tex]y' = f(x,y)[/tex] se la f ha la forma [tex]f = \sum_{i,j} a_{ij} (x-a)^i (y-b)^j[/tex];
allora: [tex]\exists ! y = \sum c_k (x-a)^k[/tex] convergente in [tex]|x-a|< \epsilon[/tex]
questo è il contenuto degli appunti miei e di un mio compagno. seguito dall'esercizio che ho scritto che, secondo il docente, ha proprio quella che ho scritto come soluzione.
questo è tutto ciò che abbiamo fatto su quel metodo di risoluzione.
Vediamo: supponiamo di volere una soluzione della forma [tex]$y=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k$[/tex]. Allora si ha
[tex]$y'=\sum_{k=1}^\infty k c_k x^{k-1},\qquad y''=\sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k x^{k-2}$[/tex]
Inoltre, dalla definizione di prodotto alla Cauchy di due serie
[tex]$y^2=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$[/tex] dove [tex]$a_k=\sum_{h=0}^k c_h c_{k-h}$[/tex]
Sostituendo abbiamo
[tex]$\sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k x^{k-2}=x+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$[/tex]
riscalando la prima sommatoria, in modo che $k-2\to k$
[tex]$\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) c_{k+2} x^k-\sum_{k=0}^\infty a_k x^k=x$[/tex]
e in definitiva
[tex]$\sum_{k=0}^\infty [(k+2)(k+1) c_{k+2}-a_k] x^k=x$[/tex]
Ora, per determinare i valori di $c_k$ basta osservare che quella a sinistra deve essere lo sviluppo in serie della funzione $x$ (che è praticamente già sviluppata in serie): ne segue che tutti i coefficienti delle potenze di $x$ a destra devono essere nulli eccezion fatta per quello di indice $k=1$. Si ha pertanto
[tex]$k=0\ \Rightarrow\ 2c_2-a_0=0$[/tex]
[tex]$k=1\ \Rightarrow\ 6c_3-a_1=1$[/tex]
[tex]$k\ge 1\ \Rightarrow\ (k+2)(k+1)c_{k+2}-a_k=0$[/tex]
Inoltre, le condizioni iniziali assicurano che [tex]$c_0=y(0)=0,\ c_1=y'(0)=1$[/tex].
Partiamo ora dalla prima equazione: ricordando l'espressione per $a_k$ segue che $a_0=c_0^2=0$, pertanto $c_2=0$.
Nella seconda equazione abbiamo, invece, essendo $a_1=c_0 c_1+c_1 c_0=0$, $c_3=\frac{1}{6}$.
Ora il problema sta nel risolvere l'ultima equazione per $k\ge 1$. Vediamo cosa accade per $k=2$: si ha
$a_2=c_0 c_2+c_1 c_1+c_2 c_0=1$ e pertanto $12c_4-1=0\ \Rightarrow\ c_4=\frac{1}{12}$.
Questo basta a far vedere che la soluzione scritta dal tuo professore non va bene.
P.S.: bisognerebbe vedere quale forma "chiusa" assumano i coefficienti a partire dalla terza equazione, ma in questo momento non ho molta voglia di fare i conti, sorry!
[tex]$y'=\sum_{k=1}^\infty k c_k x^{k-1},\qquad y''=\sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k x^{k-2}$[/tex]
Inoltre, dalla definizione di prodotto alla Cauchy di due serie
[tex]$y^2=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$[/tex] dove [tex]$a_k=\sum_{h=0}^k c_h c_{k-h}$[/tex]
Sostituendo abbiamo
[tex]$\sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k x^{k-2}=x+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$[/tex]
riscalando la prima sommatoria, in modo che $k-2\to k$
[tex]$\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) c_{k+2} x^k-\sum_{k=0}^\infty a_k x^k=x$[/tex]
e in definitiva
[tex]$\sum_{k=0}^\infty [(k+2)(k+1) c_{k+2}-a_k] x^k=x$[/tex]
Ora, per determinare i valori di $c_k$ basta osservare che quella a sinistra deve essere lo sviluppo in serie della funzione $x$ (che è praticamente già sviluppata in serie): ne segue che tutti i coefficienti delle potenze di $x$ a destra devono essere nulli eccezion fatta per quello di indice $k=1$. Si ha pertanto
[tex]$k=0\ \Rightarrow\ 2c_2-a_0=0$[/tex]
[tex]$k=1\ \Rightarrow\ 6c_3-a_1=1$[/tex]
[tex]$k\ge 1\ \Rightarrow\ (k+2)(k+1)c_{k+2}-a_k=0$[/tex]
Inoltre, le condizioni iniziali assicurano che [tex]$c_0=y(0)=0,\ c_1=y'(0)=1$[/tex].
Partiamo ora dalla prima equazione: ricordando l'espressione per $a_k$ segue che $a_0=c_0^2=0$, pertanto $c_2=0$.
Nella seconda equazione abbiamo, invece, essendo $a_1=c_0 c_1+c_1 c_0=0$, $c_3=\frac{1}{6}$.
Ora il problema sta nel risolvere l'ultima equazione per $k\ge 1$. Vediamo cosa accade per $k=2$: si ha
$a_2=c_0 c_2+c_1 c_1+c_2 c_0=1$ e pertanto $12c_4-1=0\ \Rightarrow\ c_4=\frac{1}{12}$.
Questo basta a far vedere che la soluzione scritta dal tuo professore non va bene.
P.S.: bisognerebbe vedere quale forma "chiusa" assumano i coefficienti a partire dalla terza equazione, ma in questo momento non ho molta voglia di fare i conti, sorry!
Puoi postare il testo preciso dell'esercizio? Non ti chiede forse di calcolare solo i primi termini dello sviluppo in serie di $y$ nell'intorno di $x=0$?
oddio ciampi o.o
mi piacerebbe dire di aver capito, ma mi son perso appena hai parlato di "prodotto alla cauchy di due serie". argomento da noi mai fatto :\
però la mole delle cose che hai scritto... fa intendere appunto quanto tu stesso hai concluso: la soluzione data dal docente NON è la soluzione.
cmax, non c'è un vero e proprio testo. nel senso che è un esercizio inventato (o forse no?!) dal mio docente. e quanto ho scritto è quanto lui stesso ci ha detto: "risolvere il seguente problema di cauchy", nient'altro.
mi piacerebbe dire di aver capito, ma mi son perso appena hai parlato di "prodotto alla cauchy di due serie". argomento da noi mai fatto :\
però la mole delle cose che hai scritto... fa intendere appunto quanto tu stesso hai concluso: la soluzione data dal docente NON è la soluzione.
cmax, non c'è un vero e proprio testo. nel senso che è un esercizio inventato (o forse no?!) dal mio docente. e quanto ho scritto è quanto lui stesso ci ha detto: "risolvere il seguente problema di cauchy", nient'altro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo