Un problema decisamente banale...
Ragazzi
suppongo che a molti di voi sia noto il seguente integrale ‘improprio’ [se ho ben capito un integrale è ‘integrale improprio’ quando uno è obbligato a sforzarsi un poco di più che non nel caso di un ‘semplice integrale’
]…
$int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt= n!$ (1)
Supponiamo che uno abbia a doversi calcolare l’integrale seguente…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt$ (2)
... e che $f(t)$ sia sviluppabile in serie in tutto $RR^+$, ossia è…
$f(t)=sum_(n=0)^(+oo) a_n*t^n$ (2)
Dopo qualche tentativo più o meno riuscito il nostro potrebbe avere un ‘lampo di genio’ e risolvere il problema in questo modo…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) a_n*int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt=$
$=sum_(n=0)^(+oo)a_n*n!$ (3)
Proviamo a vedere se la cosa è possibile con qualche esempio. Naturalmente una semplice maniera alternativa per calcolare l’integrale (2) è ricorrere alla L-trasformata in questo modo…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= L[f(t)]_(s=1)$ (4)
... a condizione naturalmente di conoscere la suddetta trasformata. Molto bene, proviamo con $f(t)=sin t$, la quale ha per trasformata $1/(1+s^2)$. Sarà quindi…
$int_0^(+oo) sin t*e^(-t)*dt= L[sin t]_(s=1)=1/2$ (5)
La funzione $f(t)=sin t$ ha il seguente sviluppo in serie…
$sin t= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*(t^(2n+1))/((2n+1)!)$ (6)
... di modo che è $a_(2n+1)=((-1)^n)/((2n+1)!)$. Sostituendo nella (3) otteniamo…
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*((2n+1)!)/((2n+1)!)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n$ (7)
… vale a dire una somma indeterminata che solo con molta fantasia si può affermare faccia $1/2$…
Senza farci prendere dallo scoramento proviamo con un’altra funzione… mumble, mumble… ma sì quella che piace tanto a chi sappiamo $f(t)=sin t/t$!…
Lo sviluppo in serie di questa non è altro che lo sviluppo (6) nel quale ogni termine è stato diviso per $t$…
$sin t/t= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^(n)*t^(2n)/((2n+1)!)$ (8)
... e pertanto è $a_(2n)=((-1)^n)/((2n+1)!)$. A questo punto si può andare a cercare quanto vale la L-trasformata di $sin t/t$ per trovare…
$int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= L[sin t/t]_(s=1)$ (9)
Ebbene ragazzi, che ci crediate oppure no, nessun manuale a me noto riporta la L-trasformata di $sin t/t$. Non è un caso che neppure lo sviluppo (8) figura in alcun testo di matematica a me noto. Evidentemente questa funzione deve essere stata chiusa tempo fa in un ‘lager’ e nessuno ne ha più notizia… Non scoraggiamoci e ricorriamo al ‘teorema della divisione per t’ il quale afferma che se $f(t)$ ha per trasformata $F(s)$, allora è…
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) F(u)*du$ (10)
Sarà dunque…
$L[sin t/t] = int_s^(+oo) 1/(1+u^2)*du= |tan^(-1) u|_0^(+oo)= pi/2-tan^(-1) s= cot^(-1) s$ (11)
Pertanto il nostro bell’integrale vale…
$int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= L[sin t/t]_(s=1)= pi/4$ (12)
Se ora andiamo a calcolare la serie (3) con $a_(2n)= ((-1)^n)/((2n+1)!)$ abbiamo…
$ int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*((2n)!)/((2n+1)!)=
$=sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)= pi/4$ (13)
Allegri ragazzi!... Stavolta abbiamo fatto tombola!…
La domanda ovvia a questo punto è: quando posso usare la (3) e quando no?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
suppongo che a molti di voi sia noto il seguente integrale ‘improprio’ [se ho ben capito un integrale è ‘integrale improprio’ quando uno è obbligato a sforzarsi un poco di più che non nel caso di un ‘semplice integrale’
]… $int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt= n!$ (1)
Supponiamo che uno abbia a doversi calcolare l’integrale seguente…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt$ (2)
... e che $f(t)$ sia sviluppabile in serie in tutto $RR^+$, ossia è…
$f(t)=sum_(n=0)^(+oo) a_n*t^n$ (2)
Dopo qualche tentativo più o meno riuscito il nostro potrebbe avere un ‘lampo di genio’ e risolvere il problema in questo modo…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) a_n*int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt=$
$=sum_(n=0)^(+oo)a_n*n!$ (3)
Proviamo a vedere se la cosa è possibile con qualche esempio. Naturalmente una semplice maniera alternativa per calcolare l’integrale (2) è ricorrere alla L-trasformata in questo modo…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= L[f(t)]_(s=1)$ (4)
... a condizione naturalmente di conoscere la suddetta trasformata. Molto bene, proviamo con $f(t)=sin t$, la quale ha per trasformata $1/(1+s^2)$. Sarà quindi…
$int_0^(+oo) sin t*e^(-t)*dt= L[sin t]_(s=1)=1/2$ (5)
La funzione $f(t)=sin t$ ha il seguente sviluppo in serie…
$sin t= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*(t^(2n+1))/((2n+1)!)$ (6)
... di modo che è $a_(2n+1)=((-1)^n)/((2n+1)!)$. Sostituendo nella (3) otteniamo…
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*((2n+1)!)/((2n+1)!)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n$ (7)
… vale a dire una somma indeterminata che solo con molta fantasia si può affermare faccia $1/2$…
Senza farci prendere dallo scoramento proviamo con un’altra funzione… mumble, mumble… ma sì quella che piace tanto a chi sappiamo $f(t)=sin t/t$!…
Lo sviluppo in serie di questa non è altro che lo sviluppo (6) nel quale ogni termine è stato diviso per $t$… $sin t/t= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^(n)*t^(2n)/((2n+1)!)$ (8)
... e pertanto è $a_(2n)=((-1)^n)/((2n+1)!)$. A questo punto si può andare a cercare quanto vale la L-trasformata di $sin t/t$ per trovare…
$int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= L[sin t/t]_(s=1)$ (9)
Ebbene ragazzi, che ci crediate oppure no, nessun manuale a me noto riporta la L-trasformata di $sin t/t$. Non è un caso che neppure lo sviluppo (8) figura in alcun testo di matematica a me noto. Evidentemente questa funzione deve essere stata chiusa tempo fa in un ‘lager’ e nessuno ne ha più notizia… Non scoraggiamoci e ricorriamo al ‘teorema della divisione per t’ il quale afferma che se $f(t)$ ha per trasformata $F(s)$, allora è…
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) F(u)*du$ (10)
Sarà dunque…
$L[sin t/t] = int_s^(+oo) 1/(1+u^2)*du= |tan^(-1) u|_0^(+oo)= pi/2-tan^(-1) s= cot^(-1) s$ (11)
Pertanto il nostro bell’integrale vale…
$int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= L[sin t/t]_(s=1)= pi/4$ (12)
Se ora andiamo a calcolare la serie (3) con $a_(2n)= ((-1)^n)/((2n+1)!)$ abbiamo…
$ int_0^(+oo) sin t/t*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*((2n)!)/((2n+1)!)=
$=sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)= pi/4$ (13)
Allegri ragazzi!... Stavolta abbiamo fatto tombola!…
La domanda ovvia a questo punto è: quando posso usare la (3) e quando no?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Un discorso interessante. Cosa curiosa questa della somma di $(-1)^n$. Mi pare che anche il grande Eulero abbia argomentato che:
$ \sum_{i=1}^\infty (-1)^i = 1/2 $ (1)
e in effetti ho letto da qualche parte che in un certo senso questo è verificato. (non nel senso classico di convergenza delle serie!)
Comunque, come non si può usare la famosa formula:
$ \sum_{n=1}^\infty x^n = 1/(1-x) \iff x \in (-1,1) $
nel caso di $-1$, visto che gli intervalli sono esclusi, per dimostrare la (1) - che È in effetti falsa per come intendiamo noi usualmente il significato di serie -, così in questo caso c'è la fregatura: non è tanto una questione di quando si possa e quando non si possa usare la (3) proposta da lupo grigio. Quanto il fatto che la (3) non è vera in generale.
Si fa, infatti, la mutua assunzione che:
$ \int_{0}^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_{0}^\infty f_{n}(t) dt $
questo in assoluto non è vero, ma richiede una condizione di convergenza sulla serie. Nel caso si intenda l'integrale nel senso di Riemann occorre, addirittura, la convergenza uniforme. Nel caso di integrale nel senso di Lebesgue le richieste sono molto più leggere, ma comunque è richiesta la convergenza quasi ovunque. Ovviamente nel caso si ponga:
$ f_n(t) = a_n t^n e^{-t} $
$a_n$ $n-$simo coefficiente di Taylor di $sin$.
queste ipotesi vengono a mancare quindi la serie dei $(-1)^n$ non è diventata convergente e non ne abbiamo trovato la somma!
$ \sum_{i=1}^\infty (-1)^i = 1/2 $ (1)
e in effetti ho letto da qualche parte che in un certo senso questo è verificato. (non nel senso classico di convergenza delle serie!)
Comunque, come non si può usare la famosa formula:
$ \sum_{n=1}^\infty x^n = 1/(1-x) \iff x \in (-1,1) $
nel caso di $-1$, visto che gli intervalli sono esclusi, per dimostrare la (1) - che È in effetti falsa per come intendiamo noi usualmente il significato di serie -, così in questo caso c'è la fregatura: non è tanto una questione di quando si possa e quando non si possa usare la (3) proposta da lupo grigio. Quanto il fatto che la (3) non è vera in generale.
Si fa, infatti, la mutua assunzione che:
$ \int_{0}^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_{0}^\infty f_{n}(t) dt $
questo in assoluto non è vero, ma richiede una condizione di convergenza sulla serie. Nel caso si intenda l'integrale nel senso di Riemann occorre, addirittura, la convergenza uniforme. Nel caso di integrale nel senso di Lebesgue le richieste sono molto più leggere, ma comunque è richiesta la convergenza quasi ovunque. Ovviamente nel caso si ponga:
$ f_n(t) = a_n t^n e^{-t} $
$a_n$ $n-$simo coefficiente di Taylor di $sin$.
queste ipotesi vengono a mancare quindi la serie dei $(-1)^n$ non è diventata convergente e non ne abbiamo trovato la somma!
In effetti l’ipotesi iniziale da me fatta era in sostanza la stessa di David[e], vale a dire che si possa applicare il teorema di integrazione per serie, il quale richiede in questo caso che la serie $sum_(n=0)^(+oo) f_n(t)$ converga uniformemente per tutte le $t$ in $RR^+$. D’altra parte non sempre la cosa si presta ad una verifica agevole, ragion per cui può essere utile trovare una strada alternativa…
David[e] dovrebbe ricordare un integrale la cui soluzione mi ha procurato un ‘dubbio amletico’, in quanto egli stesso ha tentato [con non grande successo in verità…] di lenire il mio tormento [vedi https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ght=#42675 …]. Si tratta dell’integrale seguente…
$int_0^(+oo) (1-cos t)/t*e^(-t)*dt= ½ *ln 2$ (1)
Per la soluzione in effetti mi sono basato sullo sviluppo in serie…
$(1-cos t)/t= sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*t^(2n-1)/((2n)!)$ (2)
In questo caso l’applicazione della ‘formula di lupo grigio’ ha successo in quanto è…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*((2n-1)!)/((2n)!)= ½*sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/n=1/2*ln 2$ (3)
Proviamo ora ad affrontare il caso generale. Prendiamo una generica $f(t)$ tale per cui in tutto $RR^+$ sia…
$f(t)= sum_(n=0)^(+oo) a_n*t^n$ (4)
Consideriamo ora la ‘formula di lupo grigio’…
$int_(0)^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) a_n*n!$ (5)
Domanda: per quali $f(t)$ vale la (5)?… Abbiamo finora esaminato tre casi [ma se ne potrebbero esaminare molti di più]…
a) $f(t)=sin t$… la (5) non è valida …
b) $f(t)=sin t/t$… la (5) è valida…
c) $f(t)=(1-cost)/t$… la (5) è valida…
Di primo acchito si potrebbe anche azzardare una ipotesi del genere…
Condizione sufficiente perché la (5) sia valida è che $f(t)$ sia sommabile in $(0,+oo)$, vale a dire che esista l’integrale…
$int_(0)^(+oo) f(t)*dt$ (6)
Può essere?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
David[e] dovrebbe ricordare un integrale la cui soluzione mi ha procurato un ‘dubbio amletico’, in quanto egli stesso ha tentato [con non grande successo in verità…] di lenire il mio tormento [vedi https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ght=#42675 …]. Si tratta dell’integrale seguente…
$int_0^(+oo) (1-cos t)/t*e^(-t)*dt= ½ *ln 2$ (1)
Per la soluzione in effetti mi sono basato sullo sviluppo in serie…
$(1-cos t)/t= sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*t^(2n-1)/((2n)!)$ (2)
In questo caso l’applicazione della ‘formula di lupo grigio’ ha successo in quanto è…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*((2n-1)!)/((2n)!)= ½*sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/n=1/2*ln 2$ (3)
Proviamo ora ad affrontare il caso generale. Prendiamo una generica $f(t)$ tale per cui in tutto $RR^+$ sia…
$f(t)= sum_(n=0)^(+oo) a_n*t^n$ (4)
Consideriamo ora la ‘formula di lupo grigio’…
$int_(0)^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= sum_(n=0)^(+oo) a_n*n!$ (5)
Domanda: per quali $f(t)$ vale la (5)?… Abbiamo finora esaminato tre casi [ma se ne potrebbero esaminare molti di più]…
a) $f(t)=sin t$… la (5) non è valida …
b) $f(t)=sin t/t$… la (5) è valida…
c) $f(t)=(1-cost)/t$… la (5) è valida…
Di primo acchito si potrebbe anche azzardare una ipotesi del genere…
Condizione sufficiente perché la (5) sia valida è che $f(t)$ sia sommabile in $(0,+oo)$, vale a dire che esista l’integrale…
$int_(0)^(+oo) f(t)*dt$ (6)
Può essere?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Il teorema di Beppo-Levi ci dice che, perchè sia verificata la (5) di Lupo Grigio basta avere:
$ \sum_{i=1}^\infty a_n n! $
convergente quasi ovunque. Ovvero convergente semplicemente visto che l'espressione non dipende da $x$. Questa mi pare una condizione abbastanza semplice da verificare.
Quanto all'integrabilità si potrebbe indagare la cosa, ma si otterrebbe una condizione più debole: $sin t/t$ NON è integrabile nel senso di Lebsgue su $(0,+\infty)$. Mentre è integrabile nel senso di Riemann. Siccome stiamo lavorando con gli integrali di Lebesgue (altrimenti con Rieman diventa molto complicato scambiare somme e integrali) mi sembra "brutto" mettere come ipotesi l'integrabilità secondo Riemann...
Morale della favola: per me è meglio Beppo Levi...
$ \sum_{i=1}^\infty a_n n! $
convergente quasi ovunque. Ovvero convergente semplicemente visto che l'espressione non dipende da $x$. Questa mi pare una condizione abbastanza semplice da verificare.
Quanto all'integrabilità si potrebbe indagare la cosa, ma si otterrebbe una condizione più debole: $sin t/t$ NON è integrabile nel senso di Lebsgue su $(0,+\infty)$. Mentre è integrabile nel senso di Riemann. Siccome stiamo lavorando con gli integrali di Lebesgue (altrimenti con Rieman diventa molto complicato scambiare somme e integrali) mi sembra "brutto" mettere come ipotesi l'integrabilità secondo Riemann...
Morale della favola: per me è meglio Beppo Levi...
Ragazzi
devo confessare che l’idea che la ‘formula di lupo grigio’ sia valida quando la $f(t)$ è integrabile in $(0,+oo)$ l’ho buttata lì un poco a caso e certamente non è vera. Non costa del resto gran fatica trovare un controesempio. Ad esempio prendiamo $f(t)=e^(-t)$ per cui è…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt=int_0^(+oo) e^(-2t)*dt= ½$ (1)
Per essa è $a_n=(-1)^n/(n!)$ e dunque…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*n! = sum_0^(+oo) (-1)^n*(n!)/(n!)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n$ (2)
… e ci troviamo di nuovo di fronte alla maledetta serie indeterminata…
Chissà se forse Eulero non aveva ragione!… In fondo se vale lo sviluppo…
$1/(1+t)= 1-t+t^2-t^3+…$ (3)
… questo per $t=1$ si riduce alla (2) e ponendo $t=1$ nel primo termine dell’ugualianza si ottiene proprio $1/2$…
Va bene ragazzi, lasciamo perdere!… Ma allora quando è che la formula è valida?… In sostanza David[e] afferma che è valida quando la serie che ne risulta è convergente… Ovvio!… Magari a qualcuno viene in mente un’altra idea?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
devo confessare che l’idea che la ‘formula di lupo grigio’ sia valida quando la $f(t)$ è integrabile in $(0,+oo)$ l’ho buttata lì un poco a caso e certamente non è vera. Non costa del resto gran fatica trovare un controesempio. Ad esempio prendiamo $f(t)=e^(-t)$ per cui è…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt=int_0^(+oo) e^(-2t)*dt= ½$ (1)
Per essa è $a_n=(-1)^n/(n!)$ e dunque…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*n! = sum_0^(+oo) (-1)^n*(n!)/(n!)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n$ (2)
… e ci troviamo di nuovo di fronte alla maledetta serie indeterminata…
Chissà se forse Eulero non aveva ragione!… In fondo se vale lo sviluppo…
$1/(1+t)= 1-t+t^2-t^3+…$ (3)
… questo per $t=1$ si riduce alla (2) e ponendo $t=1$ nel primo termine dell’ugualianza si ottiene proprio $1/2$…
Va bene ragazzi, lasciamo perdere!… Ma allora quando è che la formula è valida?… In sostanza David[e] afferma che è valida quando la serie che ne risulta è convergente… Ovvio!… Magari a qualcuno viene in mente un’altra idea?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Anch'io provo a buttarla lì senza velleità alcuna... mi sembra di ricordare che l'integrazione termine a termine di una serie di funzioni lungo una curva sia lecita qualora tale serie converga totalmente su tale curva. Come curva abbiamo deciso di scegliere la semiretta reale positiva... dunque occorre, di volta in volta, trovare una serie numerica reale convergente che maggiori la serie di funzioni in questione. A dire il vero non è agevole dover trovare ogni volta tale serie numerica convergente... 
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