Un po' di questioni sulla convergenza in spazi $L^p$

[Gaal Dornick]

Propongo una serie di esercizi, ed una serie di domande.

1) Sia $(f_n)_N$ una successione di funzioni in $L^1(\Omega)$, con $Omega\subset RR^n$, aperto arbitrario.
Se:
$\cdot$ $f_n \to f$ quasi ovunque;
$\cdot$ $EE C>0$ tale che $\forall n \in NN: ||f_n|| Allora:
$f$ è in $L^1$, inoltre vale la
$\int |f|dx=\lim_n \int ||f_n|-|f_n-f||dx$.

Suggerimento:

Brezis, dal cui libro è preso questo esercizio, suggerisce di usare la disuguaglianza:
$||a+b|-|a|-|b||<=2|b|$, ma io non l'ho utilizzata.

2) Sia $(f_n)_N$ una successione di funzioni in $L^1(\Omega)$, con $Omega\subset RR^n$, aperto arbitrario.
Sia inoltre $f\in L^1(\Omega)$. Se:
$\cdot$ $f_n \to f$ quasi ovunque;
$\cdot$ $||f_n||\to ||f||$;
Allora
$f_n \to f$ in $L^1$.

Sono riuscito a provare questa solo nel caso in cui le funzioni siano positive, ma la verità è che ci devo pensare ancora un po'.

3) Cosa cambia se ragioniamo in $L^p$? Direi niente. Ma qui mi domando: che rapporto c'è tra il limite quasi ovunque e il limite debole? Mi rendo conto di sapere poco su queste questioni..

[gugo82]

3) Gia fatto (più o meno).

Per quanto riguarda i rapporti tra i vari tipi di convergenza, vedi qui.