Un pò di esercizi, giusti o sbagliati?
Mi si chiede di stabilire se le seguenti funzioni sono prolugnabili per continuità in R ed eventualmente di scrivere il prolungamento.
1) [tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]
2) [tex]\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex]
3) [tex]\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}[/tex]
Allora, la prima non mi risulta prolungabile, poichè il dominio dovrebbe essere [tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
E qui trovo in x=0 un punto di discontinuità di seconda specie (se non erro).
La seconda non mi risulta prolungabile nemmeno perchè ottengo un punto di discontinuità di seconda specie come prima.
P.S. [tex]\lim_{x \to \-1^-}\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex] dovrebbe essere [tex]-\infty[/tex] ma non ho capito perchè....
avrei [tex]\frac{sin(-2)}{0}[/tex] Come stabilisco quanto fa?
La terza invece mi risulta prolungabile per continuità, a me risulta che valga:
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}\\
2\\
\frac{e-1}{2}\end{matrix}\right.[/tex]
La prima se x diverso da 0 o diverso da 1, mentre le altre due rispettivamente se x=0 altrimenti se x=1.
Invece un altro esercizio vuole che studi la derivabilità di altre funzioni:
1) [tex]\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/tex]
2) [tex]xsinx[/tex]
3) [tex]1+xe^x[/tex]
Mi risultano tute e tre derivabili in tutto il loro dominio
1) [tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]
2) [tex]\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex]
3) [tex]\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}[/tex]
Allora, la prima non mi risulta prolungabile, poichè il dominio dovrebbe essere [tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
E qui trovo in x=0 un punto di discontinuità di seconda specie (se non erro).
La seconda non mi risulta prolungabile nemmeno perchè ottengo un punto di discontinuità di seconda specie come prima.
P.S. [tex]\lim_{x \to \-1^-}\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex] dovrebbe essere [tex]-\infty[/tex] ma non ho capito perchè....
avrei [tex]\frac{sin(-2)}{0}[/tex] Come stabilisco quanto fa?
La terza invece mi risulta prolungabile per continuità, a me risulta che valga:
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}\\
2\\
\frac{e-1}{2}\end{matrix}\right.[/tex]
La prima se x diverso da 0 o diverso da 1, mentre le altre due rispettivamente se x=0 altrimenti se x=1.
Invece un altro esercizio vuole che studi la derivabilità di altre funzioni:
1) [tex]\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/tex]
2) [tex]xsinx[/tex]
3) [tex]1+xe^x[/tex]
Mi risultano tute e tre derivabili in tutto il loro dominio
Risposte
La prima mi sembra errata, non è discontinuità di seconda specie. Nelle altre due non andare a caso, usa i limiti notevoli!!
Per il secondo limite, ricorda che $x^2 -1 = (x+1)*(x-1)$
Ma la prima è errata nel senso che ho sbagliato a classificare il punto di discontinuità?
Ma la funzione è prolungabile per continuità?
Non mi pare..
Ma la funzione è prolungabile per continuità?
Non mi pare..
il limite destro e quello sinistro coincidono e fanno zero, e ponendo $e^(-1/x^2)|_0 = 0$ si ottiene una funzione continua...
"Zkeggia":
il limite destro e quello sinistro coincidono e fanno zero, e ponendo $e^(-1/x^2)|_0 = 0$ si ottiene una funzione continua...
Assolutamente no, solo il limite destro fa 0, quello sinistro è [tex]+\infty[/tex]
Quindi la funzione avendo due limiti laterali diversi è discontinua, in particolare quel limite non può esistere visto che i limiti laterali sono diversi:
Ricordavo che [tex]\frac{1}{x}[/tex] infatti non è dotata di limite per x che tende a 0 se ci fai caso, e qui hai una situazione simile solo che si tratta dell'esponente, ma il limite non esiste.
Io ricordo che quando uno dei due limiti laterali non esiste oppure è infinito si parla di discontinuità di seconda specie.
Ergo quella funzione non mi pare proungabile per contiutà in R.
Se sbaglio mi corriggerete..
Invece per quanto riguarda quello dove mi avete suggerito di calcolare il limite ricordando il limite notevole mi è riuscito ma ho un dubbio.
IO ho:
[tex]\lim_{x \to -1^- }\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex] e usando il limite notevole del seno mi riesce, però io ricordavo che dato che il limite notevole vale quando il punto di accumulazione è 0, qui io ho -1. Posso usarlo ugualmente?
E se avessi limite che tende a più o meno infinito?
Quando posso farne uso e quando no?
Quella funzione mi risulta prolungabile solo per x=1 dalla destra....
"Darèios89":
[quote="Zkeggia"]il limite destro e quello sinistro coincidono e fanno zero, e ponendo $e^(-1/x^2)|_0 = 0$ si ottiene una funzione continua...
Assolutamente no, solo il limite destro fa 0, quello sinistro è [tex]+\infty[/tex]
Quindi la funzione avendo due limiti laterali diversi è discontinua, in particolare quel limite non può esistere visto che i limiti laterali sono diversi:
Ricordavo che [tex]\frac{1}{x}[/tex] infatti non è dotata di limite per x che tende a 0 se ci fai caso, e qui hai una situazione simile solo che si tratta dell'esponente, ma il limite non esiste.
Io ricordo che quando uno dei due limiti laterali non esiste oppure è infinito si parla di discontinuità di seconda specie.
Ergo quella funzione non mi pare proungabile per contiutà in R.
Se sbaglio mi corriggerete..
[/quote]Occhio che e è elevato a $-1/x^2$ e non a $-1/x$.
SI ma...Derive e un altro sito hanno gli stessi miei risultati, i limiti sono diversi.....
per 0 sinistro l'esponente tende a meno infinito, col meno davanti diventa più infinito, perciò quel limite è più infinito, mentre nell'altro caso diventa e elevato a meno infinito.
Non esiste nemmeno secondo il pc...
per 0 sinistro l'esponente tende a meno infinito, col meno davanti diventa più infinito, perciò quel limite è più infinito, mentre nell'altro caso diventa e elevato a meno infinito.
Non esiste nemmeno secondo il pc...
"Darèios89":
SI ma...Derive e un altro sito hanno gli stessi miei risultati, i limiti sono diversi.....
per 0 sinistro l'esponente tende a meno infinito, col meno davanti diventa più infinito, perciò quel limite è più infinito, mentre nell'altro caso diventa e elevato a meno infinito.
Non esiste nemmeno secondo il pc...
Per zero sinistro l'esponente $1/x^2$ tende comunque a più infinito ($x$ è elevato al quadrato quindi è positivo) che col meno davanti diventa meno infinito.
Si avete ragione...
Avevo scritto male il limite, allora si, è continua e prolungabile in R.
Per quanto riguarda la mia domanda postata precedentemente su quando si può utilizzare il limite del seno?
Perchè pensavo si potesse usare solo per x che tende a 0 mentre nel mio esercizio tente a -1.
Avevo scritto male il limite, allora si, è continua e prolungabile in R.
Per quanto riguarda la mia domanda postata precedentemente su quando si può utilizzare il limite del seno?
Perchè pensavo si potesse usare solo per x che tende a 0 mentre nel mio esercizio tente a -1.
"Darèios89":
SI ma...Derive e un altro sito hanno gli stessi miei risultati, i limiti sono diversi.....
per 0 sinistro l'esponente tende a meno infinito, col meno davanti diventa più infinito, perciò quel limite è più infinito, mentre nell'altro caso diventa e elevato a meno infinito.
Non esiste nemmeno secondo il pc...
Una precisazione per tutti: il pc non può, non ha mai potuto e NON POTRÀ MAI sostituire il cervello.
Vero vero...
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