Un po' di equazioni complesse..

[Madmax9]

Ciao ragazzi! tra un mese ho l'esame di analisi 1 e sto rivedendo varie cose tra cui i numeri complessi vi posto qualche esercizio su cui ho qualche difficoltà..

Ecco la prima equazione:
$(z−1)^3 = 9(\bar z −1) $

Ho pensato di sostituire $w = z-1$, quindi l'equazione diventa $w^3 = 9 \bar w $

da qui ricavo che il modulo può essere nullo oppure uguale a 3, ma il mio dubbio è il calcolo dell'argomento..

ho che $e^(3itheta) = e^(-itheta)$ da cui $3theta = -theta + 2kpi$ il che non mi quadra..perchè $theta = 2kpi/4; k = 0, 1, 2, 3$
che mi darebbe 5 soluzioni..ma per il teorema fondamentale dell'algebra dovrei avere solo 3 radici complesse..quindi ho pensato di semplificare ma mi ritroverei $theta_0 = 0$ e $theta_1 = pi/2 $ ma ancora, le radici non dovrebbero disporsi in modo tale da occupare i vertici di un poligono iscritto? Spero siano dubbi legittimi


Dubbio n°2 ecco l'equazione

$w^2 + iw -1 + i = 0$

da cui ho che $w = (-i +- sqrt(3 - 4i))/2$

da cui ho che il modulo di $|3-4i| = 5$
e l'argomento $arg(3-4i) = theta$
$cos(theta) = 3/5$
$sin(theta) = -4/5$

non essendo angoli noti non so come continuare..inoltre nello stesso esercizio dovrei calcolare la radice terza di $w$..


help

[Ziben]

Ciao,
esercizio 1:
Il teorema fondamentale dell'algebra non dice che le radici di un polinomio devono essere per forza complesse, nè che siano tutte distinte. In $e^(3i\theta) = e^(-i\theta)$ ricavi $3\theta + 2k pi = - \theta + 2k pi$ (se metti la periodicità da una parte la devi mettere anche dall'altra) per cui $\theta = 0$ ovvero $\theta = 0 + 2k pi$ (ora ho riaggiunto la periodicità alla soluzione).

Quindi $w$ è un numero reale il cui valore assoluto può valere $0$ oppure $3$; dalla seconda ($|w|=3$) ricavi $w=\pm3$.
Da cui $z=1$, $z=4$ e $z=-2$

esercizio 2:
In realtà se conosci il coseno o il seno di un angolo conosci anche l'angolo, comunque il "trucco" è trasformare il radicando in un quadrato: $3-4i = (2-i)^2$