Un pò di dubbi sulle serie
Buonasera tutti. Mi sono messo ad esercitarmi sulle serie, che ne sentivo un pò la mancanza, e tanto per non cambiare, ho dei dubbi su alcune.
La prima:
$ \sum_{n=1}^oo (-1)^n 2^n/(n2^n + 1) $
mi accorgo dal $ (-1)^n $ che è una serie a segni alterni, quindi devo vedere prima se converge assolutamente la serie $ \sum_{n=1}^oo 2^n/(n2^n + 1) $; facendo il criterio della radice, ottengo la il $ lim_(n->oo) root(n)(2^n)/(root(n)(2^n) + 1)$, semplifico in $ lim_(n->oo) 2/(2root(n)(n) + 1) $ con risultato del limite $ = 2/3 $, dato che per il limite fondamentale $ lim_(n->oo) root(n)(n) = 1 $ e per la serie $ 2/3 < 0 $ e la serie converge, e anche assolutamente. Il ragionamento che ho fatto è giusto? Secondo me si, però dal risultato che mi da il libro, questa serie converge semplicemente..
La seconda:
$ \sum_{n=1}^oo (1+log3)^n/n2^n $
questa è una serie normale, applico il criterio della radice e ottengo $ lim_(n->oo) (1+log3)/(2root(n)(n)) $ e sempre per il limite fondamentale, ho successivamente $ lim_(n->) (1+log3)/2 $ che con la calcolatrice so che viene $ 0,73 < 1 $ e quindi convergente, ma il risultato dell'esercizio mi dice che è divergente. Sia qui, che nell'esercizio prima, son molto simili, ho il dubbio della semplificazione $ root(n)(n2^n) = 2root(n)(n) $, è possibile fare una cosa del genere?
La terza:
$ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) sinn $
non è una serie a segni alterni, perchè il seno non ha un valore positivo, un negatico , positivo etc ma ne ha tre positivi (con n=1,2,3) poi negativi (con n=4,..) quindi ho la serie $ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) |sinn| $ però da qui non so poi bene che fare, perchè se non sbaglio con il criterio del rapporto, il limite è uguale a 1; poi con il criterio del confronto non so se posso fare che la $ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) |sinn| \sim n^2/n^3 $ che semplificata viene $ 1/n $ , la serie armonica che è divergente, però il risultato dice che è convergente..
La quarta:
qui chiedo solo una conferma; ho la serie $ \sum_{n=1}^oo (3^n+n^2)/(2^n(n^3) + 1)) $ facendo il confronto asintotico della serie ottengo che equivale a $ \sim n^2/n^3 = 1/n $ che diverge, come mi dice il risultato. Ma è giusto considerarla così?
E per ultime, piccole equivalenze con il criterio del confronto asintotico
$ 1/(n^2logn) \sim 1/n^2 $
$ 1/(2n+1)^2 \sim 1/n^2 $
$ 1/(log(2n+1) + 3) \sim 1/2n $
$ root(n)(3)/n \sim 1/n $
$ root(n)(3)/n^2 \sim 1/n^2 $
sono giuste, o mi sono fatto delle regole ad-hoc per risolverle?
Ringrazio per l'aiuto che spero di riceve, con tutti sti dubbi.
Grazie.
FB
La prima:
$ \sum_{n=1}^oo (-1)^n 2^n/(n2^n + 1) $
mi accorgo dal $ (-1)^n $ che è una serie a segni alterni, quindi devo vedere prima se converge assolutamente la serie $ \sum_{n=1}^oo 2^n/(n2^n + 1) $; facendo il criterio della radice, ottengo la il $ lim_(n->oo) root(n)(2^n)/(root(n)(2^n) + 1)$, semplifico in $ lim_(n->oo) 2/(2root(n)(n) + 1) $ con risultato del limite $ = 2/3 $, dato che per il limite fondamentale $ lim_(n->oo) root(n)(n) = 1 $ e per la serie $ 2/3 < 0 $ e la serie converge, e anche assolutamente. Il ragionamento che ho fatto è giusto? Secondo me si, però dal risultato che mi da il libro, questa serie converge semplicemente..
La seconda:
$ \sum_{n=1}^oo (1+log3)^n/n2^n $
questa è una serie normale, applico il criterio della radice e ottengo $ lim_(n->oo) (1+log3)/(2root(n)(n)) $ e sempre per il limite fondamentale, ho successivamente $ lim_(n->) (1+log3)/2 $ che con la calcolatrice so che viene $ 0,73 < 1 $ e quindi convergente, ma il risultato dell'esercizio mi dice che è divergente. Sia qui, che nell'esercizio prima, son molto simili, ho il dubbio della semplificazione $ root(n)(n2^n) = 2root(n)(n) $, è possibile fare una cosa del genere?
La terza:
$ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) sinn $
non è una serie a segni alterni, perchè il seno non ha un valore positivo, un negatico , positivo etc ma ne ha tre positivi (con n=1,2,3) poi negativi (con n=4,..) quindi ho la serie $ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) |sinn| $ però da qui non so poi bene che fare, perchè se non sbaglio con il criterio del rapporto, il limite è uguale a 1; poi con il criterio del confronto non so se posso fare che la $ \sum_{n=1}^oo (2^n + n^3)/(3^n + n^2) |sinn| \sim n^2/n^3 $ che semplificata viene $ 1/n $ , la serie armonica che è divergente, però il risultato dice che è convergente..
La quarta:
qui chiedo solo una conferma; ho la serie $ \sum_{n=1}^oo (3^n+n^2)/(2^n(n^3) + 1)) $ facendo il confronto asintotico della serie ottengo che equivale a $ \sim n^2/n^3 = 1/n $ che diverge, come mi dice il risultato. Ma è giusto considerarla così?
E per ultime, piccole equivalenze con il criterio del confronto asintotico
$ 1/(n^2logn) \sim 1/n^2 $
$ 1/(2n+1)^2 \sim 1/n^2 $
$ 1/(log(2n+1) + 3) \sim 1/2n $
$ root(n)(3)/n \sim 1/n $
$ root(n)(3)/n^2 \sim 1/n^2 $
sono giuste, o mi sono fatto delle regole ad-hoc per risolverle?
Ringrazio per l'aiuto che spero di riceve, con tutti sti dubbi.
Grazie.
FB
Risposte
@Cadetto Entusiasta: potresti scegliere un avatar più piccolo? (Cfr. regolamento, 2.3)
Grazie.
Per quanto riguarda il primo esercizio, ricorda che [tex]$\sqrt[n]{n2^n+1} \neq \sqrt[n]{n2^n} +1$[/tex]... Per il resto lascio la palla ad altri.
Grazie.
Per quanto riguarda il primo esercizio, ricorda che [tex]$\sqrt[n]{n2^n+1} \neq \sqrt[n]{n2^n} +1$[/tex]... Per il resto lascio la palla ad altri.
Ammetto di non avere nessuna dimestichezza con il criterio della radice, quindi ti dò la mia versione per il primo esercizio.
Trasportando tutto come limite:
$lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n + 1)$
lo puoi scrivere come: $lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n)$
e di conseguenza come: $lim_(x -> +\infty) 1/n$ che non converge.
Quindi la tua serie non converge assolutamente.
Ma applicando il criterio di Leibnits vedi che converge, quindi ha convergenza semplice..
Trasportando tutto come limite:
$lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n + 1)$
lo puoi scrivere come: $lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n)$
e di conseguenza come: $lim_(x -> +\infty) 1/n$ che non converge.
Quindi la tua serie non converge assolutamente.
Ma applicando il criterio di Leibnits vedi che converge, quindi ha convergenza semplice..
"andra_zx":
Ammetto di non avere nessuna dimestichezza con il criterio della radice, quindi ti dò la mia versione per il primo esercizio.
Trasportando tutto come limite:
$lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n + 1)$
lo puoi scrivere come: $lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n)$
e di conseguenza come: $lim_(x -> +\infty) 1/n$ che non converge.
Quindi la tua serie non converge assolutamente.
Ma applicando il criterio di Leibnits vedi che converge, quindi ha convergenza semplice..
Sù, dai... Scriviamo cercando di mantenere un minimo di decenza.
"gugo82":
[quote="andra_zx"]Ammetto di non avere nessuna dimestichezza con il criterio della radice, quindi ti dò la mia versione per il primo esercizio.
Trasportando tutto come limite:
$lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n + 1)$
lo puoi scrivere come: $lim_(x -> +\infty) 2^n/(n2^n)$
e di conseguenza come: $lim_(x -> +\infty) 1/n$ che non converge.
Quindi la tua serie non converge assolutamente.
Ma applicando il criterio di Leibnits vedi che converge, quindi ha convergenza semplice..
Sù, dai... Scriviamo cercando di mantenere un minimo di decenza.[/quote]
In cosa ho sbagliato scusa ?
In cosa?
Ecco:
1) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
2) "lo puoi scrivere come" non è affatto vero;
3) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
4) "e di conseguenza come", stesso discorso di prima;
5) variabile di limite o variabile nel limite sballata (tre volte su tre... magie del cut&paste e della disattenzione);
6) "che non converge"... Ma quando mai!
7) "Quindi" implica conseguenza logica; se prima non hai detto nulla di sensato, dubito che puoi concludere qualcosa.*
8) "Leibnits" VS. Leibniz.
__________
* In realtà, per ex falso quodlibet, dalle cose inesatte dette prima può derivare logicamente tutto; ad esempio, anche che $3\cdot 2=-\infty$.
Ecco:
1) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
2) "lo puoi scrivere come" non è affatto vero;
3) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
4) "e di conseguenza come", stesso discorso di prima;
5) variabile di limite o variabile nel limite sballata (tre volte su tre... magie del cut&paste e della disattenzione);
6) "che non converge"... Ma quando mai!
7) "Quindi" implica conseguenza logica; se prima non hai detto nulla di sensato, dubito che puoi concludere qualcosa.*
8) "Leibnits" VS. Leibniz.
__________
* In realtà, per ex falso quodlibet, dalle cose inesatte dette prima può derivare logicamente tutto; ad esempio, anche che $3\cdot 2=-\infty$.
"gugo82":
In cosa?
Ecco:
1) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
2) "lo puoi scrivere come" non è affatto vero;
3) variabile di limite o variabile nel limite sballata;
4) "e di conseguenza come", stesso discorso di prima;
5) variabile di limite o variabile nel limite sballata (tre volte su tre... magie del cut&paste e della disattenzione);
6) "che non converge"... Ma quando mai!
7) "Quindi" implica conseguenza logica; se prima non hai detto nulla di sensato, dubito che puoi concludere qualcosa.*
8) "Leibnits" VS. Leibniz.
__________
* In realtà, per ex falso quodlibitur, dalle cose inesatte dette prima può derivare logicamente tutto; ad esempio, anche che $3\cdot 2=-\infty$.
Capito, farò più attenzione.
Per quanto riguarda le serie:
1) Come ha notato gugo82, applicando il criterio della radice, il denominatore va tutto dentro la radice.
La serie non converge assolutamente, infatti, moltiplicando il numeratore e il denominatore del termine generale della serie per $2^(-n)$ si ottiene:
$|a_n| = 1/(n+ 2^(-n)) > 1/(4n)$, da cui si deduce la divergenza.
Applicando il criterio del rapporto, si trova che:
$|a_(n+1)|<|a_n|$
In alternativa si può dimostrare che il termine generale della serie in valore assoluto è decrescente, considerandolo come la restrizione di una funzione di variabile reale, di cui, calcolando la derivata si trova che è negativa.
Quindi puoi applicare il criterio di Leibniz.
2)Corretto il procedimento, però mi pare che passi il 2 dal numeratore al denominatore. Se il 2 è a denominatore cambia tutto e la serie diverge. Se invece il 2 è a numeratore, il risultato dipende dalla base del logaritmo. Credo che tu lo abbia inteso in base 10, ma molti libri usano log per indicare il logaritmo naturale.
3)Per il confronto asintotico i termini esponenziali prevalgono sui polinomiali, per cui il termine generale in modulo va come $2^n /(3^n)$, che converge.
4)Come sopra, facendo il confronto asintotico ottieni $3^n /(2^n n^3) \sim (3/2)^n /(n^3)$. L'esponenziale con base maggiore di 1, per esponente che tende a $+infty$, è un infinito d'ordine maggiore di qualsiasi polinomiale. Pertanto il termine generale della serie diverge. La serie allora diverge.
1) Come ha notato gugo82, applicando il criterio della radice, il denominatore va tutto dentro la radice.
La serie non converge assolutamente, infatti, moltiplicando il numeratore e il denominatore del termine generale della serie per $2^(-n)$ si ottiene:
$|a_n| = 1/(n+ 2^(-n)) > 1/(4n)$, da cui si deduce la divergenza.
Applicando il criterio del rapporto, si trova che:
$|a_(n+1)|<|a_n|$
In alternativa si può dimostrare che il termine generale della serie in valore assoluto è decrescente, considerandolo come la restrizione di una funzione di variabile reale, di cui, calcolando la derivata si trova che è negativa.
Quindi puoi applicare il criterio di Leibniz.
2)Corretto il procedimento, però mi pare che passi il 2 dal numeratore al denominatore. Se il 2 è a denominatore cambia tutto e la serie diverge. Se invece il 2 è a numeratore, il risultato dipende dalla base del logaritmo. Credo che tu lo abbia inteso in base 10, ma molti libri usano log per indicare il logaritmo naturale.
3)Per il confronto asintotico i termini esponenziali prevalgono sui polinomiali, per cui il termine generale in modulo va come $2^n /(3^n)$, che converge.
4)Come sopra, facendo il confronto asintotico ottieni $3^n /(2^n n^3) \sim (3/2)^n /(n^3)$. L'esponenziale con base maggiore di 1, per esponente che tende a $+infty$, è un infinito d'ordine maggiore di qualsiasi polinomiale. Pertanto il termine generale della serie diverge. La serie allora diverge.
Per la prima serie
Sul denominatore, applicando il criterio della radice, non ho indicato volutamente che esso va sotto la radice n-esima, ma ho pensato che dato che la $ root(n)(1) = 1 $, non la segno e basta; quindi ho già sbagliato lì.
Non ho capito tanto bene il procedimento del moltiplicare numeratore e denominatore per $ 2^(-n) $ $ (=1/(2^n/2^n))$. Ci sono arrivato che semplificando arrivo ad ottenere $ 1/(n+2^n) $, ma poi perchè lo confronto con $ 1/4n $: come posso sapere con cosa confrontare ciò che ottengo? Non capisco l'alternativa che proponi, cioè non ho mai sentito la possibilità di introdurre le derivate per la risoluzione delle serie.
Per la seconda:
Qui mi sono sbagliato a scrivere la serie all'inizio, non accorgendomi dell'errore. La serie è $ \sum_{n=1}^oo (1+log3)^n/(n2^n) $. Non capisco come possa divergere, ho provato a rifarla adesso ma mi viene sempre convergente.
Per la terza:
Non capisco il fatto che i termini esponenziali prevalgono sui polinomiali:per esempio, se io tra $ 2^n $ e $ n^3 $ con $ n=2 $, il maggiore tra i due è $ n^3 $ e non il $ 2^n $. Di sicuro sbaglierò in sto ragionamento. Poi comunque non capisco con che logica sei arrivato a dire che $ 2^n/3^n $ converga.
Per la quarta:
Come per la terza, non capisco il ragionamento del confronto asintotico.
Per il resto delle "equivalenze" tramite il criterio del confronto asintotico, sono ok? Spero proprio di no, visto che ho sbagliato praticamente tutto negli esercizi prima..
FB
Sul denominatore, applicando il criterio della radice, non ho indicato volutamente che esso va sotto la radice n-esima, ma ho pensato che dato che la $ root(n)(1) = 1 $, non la segno e basta; quindi ho già sbagliato lì.
Non ho capito tanto bene il procedimento del moltiplicare numeratore e denominatore per $ 2^(-n) $ $ (=1/(2^n/2^n))$. Ci sono arrivato che semplificando arrivo ad ottenere $ 1/(n+2^n) $, ma poi perchè lo confronto con $ 1/4n $: come posso sapere con cosa confrontare ciò che ottengo? Non capisco l'alternativa che proponi, cioè non ho mai sentito la possibilità di introdurre le derivate per la risoluzione delle serie.
Per la seconda:
Qui mi sono sbagliato a scrivere la serie all'inizio, non accorgendomi dell'errore. La serie è $ \sum_{n=1}^oo (1+log3)^n/(n2^n) $. Non capisco come possa divergere, ho provato a rifarla adesso ma mi viene sempre convergente.
Per la terza:
Non capisco il fatto che i termini esponenziali prevalgono sui polinomiali:per esempio, se io tra $ 2^n $ e $ n^3 $ con $ n=2 $, il maggiore tra i due è $ n^3 $ e non il $ 2^n $. Di sicuro sbaglierò in sto ragionamento. Poi comunque non capisco con che logica sei arrivato a dire che $ 2^n/3^n $ converga.
Per la quarta:
Come per la terza, non capisco il ragionamento del confronto asintotico.
Per il resto delle "equivalenze" tramite il criterio del confronto asintotico, sono ok? Spero proprio di no, visto che ho sbagliato praticamente tutto negli esercizi prima..
FB
Riguardo alla 3a: è strano che alla fine del corso di analisi tu non sappia che l' esponenziale è un infinito di ordine maggiore rispetto a qualsiasi potenza di x. Comunque è una regola di base, come il logaritmo, che è un infinito sempre di ordine di ordine minore rispetto ad un polinomio.
Quindi seguendo questo ragionamento puoi dire che $2^n/3^n$ converge perchè al denominatore hai un' esponenziale con base maggiore rispetto ad denominatore.
Riguardo alla 4a: stesaso ragionamento..
Riguaro alla 1a: non vedo il problema, magari ti propongo un' altra via più intuitiva..
Prova semplicemente a raccogliera il termine $2^n$. Otterrai: $1/n$ il ragionamento a questo punto è semplice..
Quindi seguendo questo ragionamento puoi dire che $2^n/3^n$ converge perchè al denominatore hai un' esponenziale con base maggiore rispetto ad denominatore.
Riguardo alla 4a: stesaso ragionamento..
Riguaro alla 1a: non vedo il problema, magari ti propongo un' altra via più intuitiva..
Prova semplicemente a raccogliera il termine $2^n$. Otterrai: $1/n$ il ragionamento a questo punto è semplice..
Per la terza:
Mi scuso ma non avevo capito cosa intendevi. Ho rifatto la serie, applicando il criterio della radice $ \lim_{n \to \infty} root(n)(2^n/3^n)root(n)((1+n^3/2^n)/(1+n^2/3^n)) $ che, se non sbaglio, semplificando viene $ 2/3 < 1 $ che converge, e anche assolutamente.. Grazie
Per la quarta:
ho fatto lo stesso ragionamento, raccolto $ (2^n/3^n) $, semplificando mi viene $ \lim_{n \to \infty} 3/2 * (1+n^2/3)/(n^3/n+1) $ con risultato $ 3>1 $ la serie è divergente.. Grazie
Spero che in questi due casi, di non aver fatto errori nelle semplificazioni
Per la prima:
L'ho rivista con i suggerimenti fattimi.
Devo calcolare la convergenza assoluta della serie $ \sum_{n=1}^oo 2^n/(n2^n+1) $, raccolgo $ \lim_{n \to \infty} 2^n/2^n * 1/(n+1/2^n) = 1/n $ che diverge; allora per Leibniz, so che la serie converse solo semplicemente..Grazie
Per la seconda rimango dell'idea che sia sbagliato il risultato segnato....
Mi scuso ma non avevo capito cosa intendevi. Ho rifatto la serie, applicando il criterio della radice $ \lim_{n \to \infty} root(n)(2^n/3^n)root(n)((1+n^3/2^n)/(1+n^2/3^n)) $ che, se non sbaglio, semplificando viene $ 2/3 < 1 $ che converge, e anche assolutamente.. Grazie
Per la quarta:
ho fatto lo stesso ragionamento, raccolto $ (2^n/3^n) $, semplificando mi viene $ \lim_{n \to \infty} 3/2 * (1+n^2/3)/(n^3/n+1) $ con risultato $ 3>1 $ la serie è divergente.. Grazie
Spero che in questi due casi, di non aver fatto errori nelle semplificazioni
Per la prima:
L'ho rivista con i suggerimenti fattimi.
Devo calcolare la convergenza assoluta della serie $ \sum_{n=1}^oo 2^n/(n2^n+1) $, raccolgo $ \lim_{n \to \infty} 2^n/2^n * 1/(n+1/2^n) = 1/n $ che diverge; allora per Leibniz, so che la serie converse solo semplicemente..Grazie
Per la seconda rimango dell'idea che sia sbagliato il risultato segnato....
ok ora sono giuste.. Occupiamoci della seconda: hai fatto tutti i passaggi corretti, ma hai sbagliato la cosa più semplice, fare il conto sulla alcolatrice.. 
Infatti indipendentemente da quale sia la base del logaritmo, hai come argomento il numero 3, quindi ti verrà un numero positivo. Se sommi tale numero all' 1 che sta al numeratore, ti verrà un numero maggiore di 1..
Infatti indipendentemente da quale sia la base del logaritmo, hai come argomento il numero 3, quindi ti verrà un numero positivo. Se sommi tale numero all' 1 che sta al numeratore, ti verrà un numero maggiore di 1..
Per la seconda ripeto quello che ho detto in precedenza, cioè:
$(1+log_10 3)/2 = 0,73...<1$
Quindi sarebbe corretto il risultato di Cadetto Entusiasta. Ma molti libri di analisi usano $log$ come $ln$, per cui:
$(1+ln3)/2 =1,049...>1$
Scritto così non è corretto. Infatti:
$lim_{n \to infty} (2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=0$ Il risultato del limite in questo caso è un numero, non un'altra funzione di $n$.
Quello che, correttamente, volevi dire era caso mai questo:
$(2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=1/(n+1/(2^n))~~1/n$ per $n->+infty$ Cioè che il termine generale della serie tende asintoticamente al termine generale della serie armonica.
In questo esercizio può sembrare una sciocchezza, ma in certi casi queste imprecisioni possono portare a errori più gravi.
Quando si applica il criterio del confronto si sceglie con cosa confrontare in base all'intuito. In questo caso, avendo notato che il termine era simile a $1/n$, avevo pensato di confrontarlo con un termine un po' più piccolo, come ad esempio $1/(4n)$. Dopo averlo pensato, va verificato così:
$1/(n+2^(-n)) > 1/(4n)$
$4n > n + 2^(-n)$
$3n>2^(-n)$ che è sicuramente vero per $n>1$ (a essere larghi).
Assodato che la serie non converge assolutamente, vuoi provare a dimostrare che però converge, applicando il criterio di Leibniz. Oltre al fatto che il termine sia infinitesimo e che la serie sia a segni alterni, il criterio di Leibniz richiede che il termine generale, considerato in valore assoluto, sia decrescente. Per fare questo puoi o calcolare il rapporto $|a_(n+1) /a_n |$ e verificare che viene minore di $1$, oppure, se questo risulta difficile si può considerare la funzione a valori reali:
$f(x)= 2^x /(x2^x +1) = 1/(x+(1/2)^x)$
$f'(x)=-1/(x+(1/2)^x)^2 * (1+1/(x*ln(1/2)))$
A questo punto studi il segno della derivata. Ti dovrebbe venire fuori che per $x>x_0$ (un certo $x_0$) la derivata è negativa. La funzione è quindi strettamente decrescente almeno in un intorno di $+infty$. Il termine generale della serie (sempre in valore assoluto) è una restrizione della funzione $f$ ai soli valori naturali della variabile, quindi anche la successione descritta dal termine è decrescente.
$(1+log_10 3)/2 = 0,73...<1$
Quindi sarebbe corretto il risultato di Cadetto Entusiasta. Ma molti libri di analisi usano $log$ come $ln$, per cui:
$(1+ln3)/2 =1,049...>1$
$lim_{n \to infty} (2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=1/n$
Scritto così non è corretto. Infatti:
$lim_{n \to infty} (2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=0$ Il risultato del limite in questo caso è un numero, non un'altra funzione di $n$.
Quello che, correttamente, volevi dire era caso mai questo:
$(2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=1/(n+1/(2^n))~~1/n$ per $n->+infty$ Cioè che il termine generale della serie tende asintoticamente al termine generale della serie armonica.
In questo esercizio può sembrare una sciocchezza, ma in certi casi queste imprecisioni possono portare a errori più gravi.
Ci sono arrivato che semplificando arrivo ad ottenere $1/(n+2^(-n))$, ma poi perchè lo confronto con $1/(4n)$ : come posso sapere con cosa confrontare ciò che ottengo?
Quando si applica il criterio del confronto si sceglie con cosa confrontare in base all'intuito. In questo caso, avendo notato che il termine era simile a $1/n$, avevo pensato di confrontarlo con un termine un po' più piccolo, come ad esempio $1/(4n)$. Dopo averlo pensato, va verificato così:
$1/(n+2^(-n)) > 1/(4n)$
$4n > n + 2^(-n)$
$3n>2^(-n)$ che è sicuramente vero per $n>1$ (a essere larghi).
Non capisco l'alternativa che proponi, cioè non ho mai sentito la possibilità di introdurre le derivate per la risoluzione delle serie.
Assodato che la serie non converge assolutamente, vuoi provare a dimostrare che però converge, applicando il criterio di Leibniz. Oltre al fatto che il termine sia infinitesimo e che la serie sia a segni alterni, il criterio di Leibniz richiede che il termine generale, considerato in valore assoluto, sia decrescente. Per fare questo puoi o calcolare il rapporto $|a_(n+1) /a_n |$ e verificare che viene minore di $1$, oppure, se questo risulta difficile si può considerare la funzione a valori reali:
$f(x)= 2^x /(x2^x +1) = 1/(x+(1/2)^x)$
$f'(x)=-1/(x+(1/2)^x)^2 * (1+1/(x*ln(1/2)))$
A questo punto studi il segno della derivata. Ti dovrebbe venire fuori che per $x>x_0$ (un certo $x_0$) la derivata è negativa. La funzione è quindi strettamente decrescente almeno in un intorno di $+infty$. Il termine generale della serie (sempre in valore assoluto) è una restrizione della funzione $f$ ai soli valori naturali della variabile, quindi anche la successione descritta dal termine è decrescente.
"robbstark":
Per la seconda ripeto quello che ho detto in precedenza, cioè:
$(1+log_10 3)/2 = 0,73...<1$
Quindi sarebbe corretto il risultato di Cadetto Entusiasta. Ma molti libri di analisi usano $log$ come $ln$, per cui:
$(1+ln3)/2 =1,049...>1$
La stessa cosa mi è venuta in mente ieri, che i vari esercizi scambiano log ed ln a loro libero arbitrio. Grazie
"robbstark":
$lim_{n \to infty} (2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=1/n$
Scritto così non è corretto. Infatti:
$lim_{n \to infty} (2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=0$ Il risultato del limite in questo caso è un numero, non un'altra funzione di $n$.
Quello che, correttamente, volevi dire era caso mai questo:
$(2^n)/(2^n) * 1/(n+1/(2^n))=1/(n+1/(2^n))~~1/n$ per $n->+infty$ Cioè che il termine generale della serie tende asintoticamente al termine generale della serie armonica.
In questo esercizio può sembrare una sciocchezza, ma in certi casi queste imprecisioni possono portare a errori più gravi.
Volevo proprio dire quello che hai inteso, la fredda mi ha fatto tagliare qualche passaggio forse importante; ma giustamente come dici te, al compito è meglio specificare ogni passaggio, non lasciando niente al caso. Grazie
"robbstark":
Ci sono arrivato che semplificando arrivo ad ottenere $1/(n+2^(-n))$, ma poi perchè lo confronto con $1/(4n)$ : come posso sapere con cosa confrontare ciò che ottengo?
Quando si applica il criterio del confronto si sceglie con cosa confrontare in base all'intuito. In questo caso, avendo notato che il termine era simile a $1/n$, avevo pensato di confrontarlo con un termine un po' più piccolo, come ad esempio $1/(4n)$. Dopo averlo pensato, va verificato così:
$1/(n+2^(-n)) > 1/(4n)$
$4n > n + 2^(-n)$
$3n>2^(-n)$ che è sicuramente vero per $n>1$ (a essere larghi).
Grazie per la spiegazione
"robbstark":
Non capisco l'alternativa che proponi, cioè non ho mai sentito la possibilità di introdurre le derivate per la risoluzione delle serie.
Assodato che la serie non converge assolutamente, vuoi provare a dimostrare che però converge, applicando il criterio di Leibniz. Oltre al fatto che il termine sia infinitesimo e che la serie sia a segni alterni, il criterio di Leibniz richiede che il termine generale, considerato in valore assoluto, sia decrescente. Per fare questo puoi o calcolare il rapporto $|a_(n+1) /a_n |$ e verificare che viene minore di $1$, oppure, se questo risulta difficile si può considerare la funzione a valori reali:
$f(x)= 2^x /(x2^x +1) = 1/(x+(1/2)^x)$
$f'(x)=-1/(x+(1/2)^x)^2 * (1+1/(x*ln(1/2)))$
A questo punto studi il segno della derivata. Ti dovrebbe venire fuori che per $x>x_0$ (un certo $x_0$) la derivata è negativa. La funzione è quindi strettamente decrescente almeno in un intorno di $+infty$. Il termine generale della serie (sempre in valore assoluto) è una restrizione della funzione $f$ ai soli valori naturali della variabile, quindi anche la successione descritta dal termine è decrescente.
Queste aggiunta verifica in Leibniz non la sapevo, cioè non me l'hanno spiegata, ma se servisse la tengo a mente che non si sa mai..
Grazie di tutto a tutti!!
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