Un po' di domande sulle serie...
Ciao,
Come prima domanda, vi pregherei di mostrarmi come si studia il carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^\infty \arctan(1/n^2)$
Poi...
Data questa serie: $\sum_{n=1}^\infty (\ln(n))/(root(4)(n^5+1)$ ho applicato il criterio del confronto asintotico calcolando il limite per $n->\infty$ del termine generale della serie fratto $1/(n^(3/2))$. Il limite è zero, quindi la serie converge. Ma mi è venuto un dubbio: tra le ipotesi per le quali è valido il criterio di confronto, c'è quella che impone che il termine generale della serie che si intende studiare deve mantenersi strettamente maggiore di 0 $AA n in NN$. Ma si vede chiaramente che per $n=1$ $ln(n) = 0$ e quindi il primo termine della serie è 0, contro l' ipotesi suddetta. Come si spiega?
ULTIMA: se si applica il criterio del rapporto per le serie, e il limite viene $+\infty$, vuol dire che la serie diverge? E se fosse $-\infty$?
Come prima domanda, vi pregherei di mostrarmi come si studia il carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^\infty \arctan(1/n^2)$
Poi...
Data questa serie: $\sum_{n=1}^\infty (\ln(n))/(root(4)(n^5+1)$ ho applicato il criterio del confronto asintotico calcolando il limite per $n->\infty$ del termine generale della serie fratto $1/(n^(3/2))$. Il limite è zero, quindi la serie converge. Ma mi è venuto un dubbio: tra le ipotesi per le quali è valido il criterio di confronto, c'è quella che impone che il termine generale della serie che si intende studiare deve mantenersi strettamente maggiore di 0 $AA n in NN$. Ma si vede chiaramente che per $n=1$ $ln(n) = 0$ e quindi il primo termine della serie è 0, contro l' ipotesi suddetta. Come si spiega?
ULTIMA: se si applica il criterio del rapporto per le serie, e il limite viene $+\infty$, vuol dire che la serie diverge? E se fosse $-\infty$?
Risposte
1) criterio del confronto asintotico: osserva che $1/n^2$ è infinitesimo.
2) quindi la serie può partire direttamente da $n=2$ e il gioco è fatto. In ogni caso, sei sicuro del confronto che hai fatto? Perché il logaritmo non è che si possa trattare tanto facilmente con il confronto asintotico, visto che non ha un termine asintotico ad infinito bene preciso.
3) i criteri del rapporto e della radice danno convergenza solo se il limite è nell'intervallo $[0,1)$. Per cui $+\infty$ implica divergenza. Inoltre, visto che i criteri si applicano a serie a termini non negativi, ti pare possibile che venga un limite negativo?
2) quindi la serie può partire direttamente da $n=2$ e il gioco è fatto. In ogni caso, sei sicuro del confronto che hai fatto? Perché il logaritmo non è che si possa trattare tanto facilmente con il confronto asintotico, visto che non ha un termine asintotico ad infinito bene preciso.
3) i criteri del rapporto e della radice danno convergenza solo se il limite è nell'intervallo $[0,1)$. Per cui $+\infty$ implica divergenza. Inoltre, visto che i criteri si applicano a serie a termini non negativi, ti pare possibile che venga un limite negativo?
"ciampax":
1) criterio del confronto asintotico: osserva che $1/n^2$ è infinitesimo.
Solo una cosa:
chi me lo dice che $\lim_{n \to \infty} \arctan(1/n^2)/(1/n^2) = 1 ?$
Per il resto, tutto chiaro grazie.
Per la cosa del logaritmo ho usato $\lim_{n \to \infty}ln(n)/n = 0$
Ciao luca, usa la sostituzione del tipo \(\displaystyle n = \frac{1}{u} \) con \(\displaystyle u -> 0 \) per \(\displaystyle n -> \infty \)
e ti ricondurrai ad un limite notevole
e ti ricondurrai ad un limite notevole
"_luca94_":
[quote="ciampax"]1) criterio del confronto asintotico: osserva che $1/n^2$ è infinitesimo.
Solo una cosa:
chi me lo dice che $\lim_{n \to \infty} \arctan(1/n^2)/(1/n^2) = 1 ?$
Per il resto, tutto chiaro grazie.
Per la cosa del logaritmo ho usato $\lim_{n \to \infty}ln(n)/n = 0$[/quote]
Come, chi te lo dice? $\lim_{t\to 0}\frac{\arctan t}{t}=1$, ecco chi!
"ciampax":
[quote="_luca94_"][quote="ciampax"]1) criterio del confronto asintotico: osserva che $1/n^2$ è infinitesimo.
Solo una cosa:
chi me lo dice che $\lim_{n \to \infty} \arctan(1/n^2)/(1/n^2) = 1 ?$
Per il resto, tutto chiaro grazie.
Per la cosa del logaritmo ho usato $\lim_{n \to \infty}ln(n)/n = 0$[/quote]
Come, chi te lo dice? $\lim_{t\to 0}\frac{\arctan t}{t}=1$, ecco chi![/quote]
Ah si? E' un limite notevole?
Stenderei un velo pietoso sulla domanda. 
Mah...sui libri nemmeno l ombra, la mia prof non me lo ha detto...
Non capisco su cosa dobbiamo stendere un velo pietoso a questo punto...
Non capisco su cosa dobbiamo stendere un velo pietoso a questo punto...
Discende facilmente da $\lim_{x \to 0} (tan(x))/x = 1$ . Sei d'accordo?
Sisi ok, é solo che non c avevo pensato
Questi limiti notevoli si possono facilmente ricordare se uno si ricorda le derivate fondamentali. La derivata di \(\arctan x\) è \(\frac{1}{1+x^2}\) e perciò per \(x=0\) essa vale \(1\): quindi il limite del rapporto incrementale è
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)-\arctan(0)}{x}=1.\]
Molti limiti notevoli si possono ottenere così.
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)-\arctan(0)}{x}=1.\]
Molti limiti notevoli si possono ottenere così.
"dissonance":
Questi limiti notevoli si possono facilmente ricordare se uno si ricorda le derivate fondamentali. La derivata di \(\arctan x\) è \(\frac{1}{1+x^2}\) e perciò per \(x=0\) essa vale \(1\): quindi il limite del rapporto incrementale è
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)-\arctan(0)}{x}=1.\]
Molti limiti notevoli si possono ottenere così.
Devo dare l' esame di Analisi I, quindi usare le derivate, anche mentalmente, è come barare...
ovviamente scherzo
Molto utile grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo