Un piccolo dubbio. Hilbert o non Hilbert?
Vorrei una piccola conferma su un dubbio che mi porto dietro da un paio di giorni
Dato $H^1([0,1]) = {u \in L^2 , u' \in L^2}$ ,è noto come questo sia uno spazio di Hilbert.
Quello che mi domando è se anche $H_0^1([0,1])$ lo sia (ovvero la chiusura in norma $H^1$ delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto).
Immagino la risposta sia no visto che il suo duale non coincide con lo spazio stesso e contiene non solo funzioni ma anche distribuzioni, ma vorrei una ulteriore conferma (resta solo Banach come sottospazio chiuso ma non eredita la struttura di prodotto interno?)
grazie mille!
M.
Dato $H^1([0,1]) = {u \in L^2 , u' \in L^2}$ ,è noto come questo sia uno spazio di Hilbert.
Quello che mi domando è se anche $H_0^1([0,1])$ lo sia (ovvero la chiusura in norma $H^1$ delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto).
Immagino la risposta sia no visto che il suo duale non coincide con lo spazio stesso e contiene non solo funzioni ma anche distribuzioni, ma vorrei una ulteriore conferma (resta solo Banach come sottospazio chiuso ma non eredita la struttura di prodotto interno?)
grazie mille!
M.
Risposte
Anche \(H^1_0\) è uno spazio di Hilbert. Il problema dell'identificazione col duale dipende dal fatto che, di norma, si usa già l'identificazione di \(L^2\) con se stesso. (A tale proposito puoi vedere la Remark 3, Chap. 5 del Brezis, dove viene trattata la questione degli spazi pivot.)
grazie mille, letto giusto ora.
Quindi $H^1_0$ è isomorfo al suo duale ma l'isomorfismo non è l'identità, nel contesto di una tripla di gelfand almeno?
Quindi $H^1_0$ è isomorfo al suo duale ma l'isomorfismo non è l'identità, nel contesto di una tripla di gelfand almeno?
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