Un piccolo aiuto su questo limite

[DioPerdona_AnalisiNo]

Qualcuno puo darmi almeno qualche dritta? è importantissimo

$lim_(n->+oo) (n!sen(n^n)+2(n^2+log n)^(n^3) sen^2(n^-(n^3)))/(4n^n root(n)(\pi)+(3^n-2^n) arctan(n^2)) $

Grazie mille in anticipo!!!

[Berationalgetreal]

Raccogli nel numeratore e nel denominatore per l'infinitesimo di grado massimo.

[DioPerdona_AnalisiNo]

"Berationalgetreal":Raccogli nel numeratore e nel denominatore per l'infinitesimo di grado massimo.

Innanzi tutto grazie per la risposta!

Come faccio a sapere qual'è il grado massimo tra questi?

[Berationalgetreal]

Pensando ai limiti notevoli.

In particolare

\[\lim_{n \to + \infty}{\frac{a^n}{n^n}} = 0, \ \forall a \in \mathbb{R} \]

e

\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{n!}{n^n} } = \lim_{n \to + \infty} {\frac{\sqrt{2\pi n} \left (\frac{n}{e} \right )^n}{n^n}} = 0 \]

[taurus85]

secondo me il denominatore applicando il confronto fra infiniti tende a 2pigreca * n^n, invece al numeratore hai n!*k con k=/0, |0, 1) la seconda espressione invece n^2+logn $=$ n^2 ,(sen(n^-(n^3)) tende a 0, quindi rimane n|/n^n, l' infinito di n^n è piu veloce dell' infinito di n! quindi il limite è 0.

[taurus85]

è corretto ?

[Berationalgetreal]

Il risultato è $+ \infty$.
Metto la risoluzione completa in spoiler:

\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{ n! \cdot \sin{n^n} + 2 \left (n^2 + \ln(n) \right )^{n^{3}} \cdot \sin \left (\frac{1}{n^{n^{3}}} \right ) }{4 n^n \cdot \sqrt[n] {\pi} + \left ( 3^n - 2^n \right ) \cdot arctan (n^2)}} = \]

\[ = \lim_{n \to + \infty} {\frac{n^{n^{3}} \cdot \left ( \frac{ n! \cdot \sin{n^n} + 2 \left (n^2 + \ln(n) \right )^{n^{3}} \cdot \sin \left (\frac{1}{n^{n^{3}}} \right ) }{n^{n^{3}}} \right )}{ n^n \cdot \left ( \frac{4 n^n \cdot \sqrt[n] {\pi} + \left ( 3^n - 2^n \right ) \cdot arctan (n^2)}{n^n} \right )}} = \]

\[ \lim_{n \to + \infty} {n^{n^{3} - n} \cdot \left ( \frac{ \frac{n! \cdot \sin \left ( n^n \right)}{n^{n^{3}}} + 2 \cdot \left ( \left ( 1 + \frac{\ln (n)}{n^2} \right )^{\frac{n^2}{ln(n)}} \right )^{ n \cdot \ln (n)} \cdot \frac{\sin \left (\frac{1}{n^{n^{3}}} \right )}{\frac{1}{n^{n^{3}}}}}{4 \cdot \sqrt [n] {\pi}+ \left ( \frac{3}{n} \right )^n \cdot \left (1 - \left ( \frac{2}{3} \right)^n \right ) \cdot \arctan (n^2) } \right )} = + \infty \cdot (+ \infty ) = + \infty \]

[size=150]Osservazioni:[/size]

1) [tex]- 1 \leq \sin \left ( n^n \right ) \leq 1[/tex], quindi
\[ \underbrace{\lim_{ n \to + \infty} { - \frac{n!}{n^n}}}_{{} = 0} \leq \lim_{ n \to + \infty} { \frac{n! \cdot \sin \left (n^n \right ) }{n^n}} \leq \underbrace{\lim_{ n \to + \infty} { \frac{n!}{n^n}}}_{{} = 0} \]
2) [tex]\lim_{n \to + \infty}{ \arctan (n^2)} = \frac{\pi}{2}[/tex].
3) [tex]\lim_{n \to + \infty}{\sqrt [n] {\pi} = 1}[/tex].
4) [tex]\lim_{n \to + \infty}{ \left ( \left ( 1 + \frac{\ln (n)}{n^2} \right )^{\frac{n^2}{ln(n)}} \right )^{ n \cdot \ln (n)}} = e^{+ \infty} = + \infty[/tex].
5) [tex]\lim_{n \to + \infty} {n^{n^{3} - n}} = \lim_{ n \to + \infty} { n^{ n^3 \cdot \left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )}} = \left (+ \infty \right )^{+ \infty} = + \infty[/tex].

[taurus85]

sei certa ?

[Berationalgetreal]

Al massimo certO. E comunque, si. Se qualcosa non ti sembra corretto dimmelo e ne discutiamo

[taurus85]

applicando gli infiniti il denominatore è 2pi* n^n ?

[Berationalgetreal]

Quindi? Il numeratore ha comunque un infinto di grado maggiore.

[taurus85]

secondo me n!sen(n^n) sen(n^n) per oo varia da 0 a 1 con n=/0, quindi n!sen(n^n $=$ n!, n^2+logn $=$ n^2, sen^2(n^(-n^3))=sen^2(1/(n^(n^3)) puoi applicare il limite nitevole e diventa 1/(n^2n^(n^3)), quindi (n^2(n^3))*1/(n^2n^(n^3)) =1 in quanto si semplifica quindi rimane n!/n^n che è 0...., il mio dubbio è n!sen(n^n)....

[taurus85]

il limite cmq è 0....

[taurus85]

il limite è 0....