Un piano rappresenta un insieme compatto?
Un piano del tipo:
$x/a_1 +y/a_2 +z/a_3=1$
definisce un insieme compatto?
Mi pare ovviamente chiuso, ma direi che non è limitato, è corretto?
La domanda sorge da un problema di ottimizzazione:
$xyz \to min$ sotto il vincolo di cui sopra.
La funzione non è convessa, l'insieme su cui è definita non è compatto, e quindi non possiamo dire se ci siano minimi globali.
Se risolvo con la lagrangiana trovo un certo numero di punti (le a sono parametri >0) che possono essere minimi o massimi locali e che vanno verificati, è corretto come ragionamento?
$x/a_1 +y/a_2 +z/a_3=1$
definisce un insieme compatto?
Mi pare ovviamente chiuso, ma direi che non è limitato, è corretto?
La domanda sorge da un problema di ottimizzazione:
$xyz \to min$ sotto il vincolo di cui sopra.
La funzione non è convessa, l'insieme su cui è definita non è compatto, e quindi non possiamo dire se ci siano minimi globali.
Se risolvo con la lagrangiana trovo un certo numero di punti (le a sono parametri >0) che possono essere minimi o massimi locali e che vanno verificati, è corretto come ragionamento?
Risposte
Certo che un piano non è compatto (nella topologia euclidea), ci mancherebbe!
Per quanto riguarda gli estremi, nota che il tuo problema di ottimizzazione vincolata equivale al problema di ottimizzazione libera per la funzione:
\[
f(x,y) = a_3\ xy\left( 1 - \frac{1}{a_1}\ x - \frac{1}{a_2}\ y\right)
\]
ottenuta smanettando un po' con l'equazione del vincolo.
Per quanto riguarda gli estremi, nota che il tuo problema di ottimizzazione vincolata equivale al problema di ottimizzazione libera per la funzione:
\[
f(x,y) = a_3\ xy\left( 1 - \frac{1}{a_1}\ x - \frac{1}{a_2}\ y\right)
\]
ottenuta smanettando un po' con l'equazione del vincolo.
Grazie, avevo pensato di risolverlo così, l'esercizio chiede però di usare le condizioni KKT. Adesso provo così posso controllare le risposte nel caso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo