Un passaggio strano della derivata
Su un esercizio svolto ho trovato difficoltà a capire questo passaggio:
$(1-x^2) y'' - xy' = 0$
facendone la derivata n-esima al primo membro si ha:
$(1-x^2)y^(n+2) - 2nxy^(n+1) -n(n-1)y^(n) -xy^(n+1) -ny^(n) = 0$
qualcuno può dirmi che regola ha applicato?
io (non sono ancora arrivato al capitolo delle eq differenziali) ho capito che:
$y'' =(d^2y)/dy^2$ e che come se fosse a prima vista derivata in due variabili, $x$ e $y$, e comunque non riesco a generalizzarla a derivata n-esima.....
aspetto delucidazioni
grazie
$(1-x^2) y'' - xy' = 0$
facendone la derivata n-esima al primo membro si ha:
$(1-x^2)y^(n+2) - 2nxy^(n+1) -n(n-1)y^(n) -xy^(n+1) -ny^(n) = 0$
qualcuno può dirmi che regola ha applicato?
io (non sono ancora arrivato al capitolo delle eq differenziali) ho capito che:
$y'' =(d^2y)/dy^2$ e che come se fosse a prima vista derivata in due variabili, $x$ e $y$, e comunque non riesco a generalizzarla a derivata n-esima.....
aspetto delucidazioni
grazie
Risposte
Ciao!
Perchè non provi a verificare,per induzione,che la derivata n-esima di quella cosaccia lì è quella cosa orrida là?
Saluti dal web.
P.S.
Per pura curiosità:
da dove t'è saltata fuori la necessità di derivare n volte quel primo membro?
Perchè non provi a verificare,per induzione,che la derivata n-esima di quella cosaccia lì è quella cosa orrida là?
Saluti dal web.
P.S.
Per pura curiosità:
da dove t'è saltata fuori la necessità di derivare n volte quel primo membro?
presa la
$(1-x^2) y^(2n) - xy^n = 0$
io l'avrei derivata cosi:
$(1-x^2) 2 y^(2n -1) - 2x + y^(2n) - x n y^n - y^n =0 $
ma credo di aver scritto qualcosa di veramente idiota.
allora è un esercizio che dice di trovare la serie di Mac Laurin della funzione $y=arcsinx$ e sul libro si fa uso di questo ragionamento per ricorrenza. Ma non riesco a generalizzare alla derivata n-sima
$(1-x^2) y^(2n) - xy^n = 0$
io l'avrei derivata cosi:
$(1-x^2) 2 y^(2n -1) - 2x + y^(2n) - x n y^n - y^n =0 $
ma credo di aver scritto qualcosa di veramente idiota.
allora è un esercizio che dice di trovare la serie di Mac Laurin della funzione $y=arcsinx$ e sul libro si fa uso di questo ragionamento per ricorrenza. Ma non riesco a generalizzare alla derivata n-sima
"ludwigZero":
io (non sono ancora arrivato al capitolo delle eq differenziali) ho capito che:
$y'' =(d^2y)/dy^2$
In realtà $y''=(d^2y)/dx^2$.
Per il resto ti consiglio di fare come ti ha suggerito theras:
prendi una funzione $phi:RR->RR,x->(1-x^2) y'' - xy' $
e poi idealmente calcoli in modo iterativo $phi'$,$phi''$,...$phi^n$.
Ti basta calcolarne un po', e non appena capisci il comportamente sostitusci gli opportuni valori e ti ricavi la formula finale.
Dopo un pò di scervellamento forse sono giunto a qualcosa (rilevante è stato il fatto che non avevo capito rispetto a chi si derivasse....)
$(d^ny)/dx^n ((1-x^2) (d^2 y)/dx^2 - x dy/dx) =0$
vado a pezzi:
$(d^ny)/dx^n ((1-x^2) d^2 y/dx^2) = (1-x^2) (d^(n+2) y)/dx^(n+2) - (d^(n+2-1)y)/dx^(n+2-1) (-2nx)$
seconda parte:
$(d^n y)/dx^n (- x dy/dx) = -(d^(n+1) y)/dx^(n+1) x - n (d^(n+1-1)y)/dx^(n+1-1)$
che ne dite?
$(d^ny)/dx^n ((1-x^2) (d^2 y)/dx^2 - x dy/dx) =0$
vado a pezzi:
$(d^ny)/dx^n ((1-x^2) d^2 y/dx^2) = (1-x^2) (d^(n+2) y)/dx^(n+2) - (d^(n+2-1)y)/dx^(n+2-1) (-2nx)$
seconda parte:
$(d^n y)/dx^n (- x dy/dx) = -(d^(n+1) y)/dx^(n+1) x - n (d^(n+1-1)y)/dx^(n+1-1)$
che ne dite?
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