Un passaggio oscuro del Rudin - Real and complex analysis

[dissonance]

Non riesco a capire questo passaggio del Rudin, nella dimostrazione dell' open mapping theorem (pagina 99 della terza edizione internazionale):

Sia $Lambda:X\toY$ lineare, $X, Y$ spazi normati con opportune ipotesi.
Siamo arrivati a dimostrare che:
$(\forall y\inY, ||y||
Da qui lui asserisce che, posto $delta=eta/((2k)$,
$(\forally\inY, \forallepsilon), existsx\inX$ tale che $||x||<=1/(delta)||y||$ e $||y-Lambdax||<=epsilon$.

Mi sento molto stupido ma proprio non capisco come abbia fatto...

[Sidereus1]

Sei fortunato. Sei arrivato addirittura a pagina 106 (nella mia edizione il teorema di cui parli è là).
Quando ero studente non capivo nemmeno il 40% di quello che c'era scritto sul Rudin. Lo trovavo contorto e innamorato del difficile per il gusto del difficile. Ho cominciato a capire qualcosa quando ho preso in mano H. L. Royden-Real Analysis-Mac Millan Press, decisamente superiore come approccio didattico.
Il Rudin mi sembra un libro buono come compendio per i ricercatori e i professori, o comunque per gente che la teoria delle funzioni la conosce già. Non mi sembra tanto adatto per gli studenti che affrontano per la prima volta certe questioni.
Mi piacerebbe sapere cosa ne pensano i professori qui presenti.
Salute

[deserto1]

Siamo arrivati a dimostrare che:
$(\forall y\inY, ||y||
Supponiamo in un primo momento che sia $y in Y$, $y!=0$. Poniamo $\bar{y}=eta/(||y||)y$ e vediamo subito che sono soddisfatte le ipotesi di cui sopra, ossia è $||bar{y}|| Sostituiamo ad $bar{y}$ il suo valore ed utilizziamo la linearità dell'operatore $Lambda$:

$||bar{y}-Lambdabar{x}||=||eta/(||y||)y-Lambdabar{x}||=eta/(||y||)||y-(||y||)/etaLambdabar{x}||=eta/(||y||)||y-Lambda((||y||)/etabar{x})||$.

Ora non ci resta altro che porre $x=(||y||)/etabar{x}$

Supponiamo infine che sia $y in Y$, $y=0$, in tale caso basta prendere $x=0$ e si ha subito $||0-Lambda0||=||0||<=epsilon$ sfruttando la linearità di $Lambda$.

Da $x=(||y||)/etabar{x}$ ho: $||x||=(||y||)/||eta||||bar{x}||=(||y||)/eta||bar{x}||<2bar{k}/eta||y||$


Se pongo $delta=eta/(2bar{k})$, ho:

$(\forally\inY, \forallepsilon), existsx\inX$ tale che $||x||<=1/(delta)||y||$ e $||y-Lambdax||<=epsilon$.

[dissonance]

@ deserto: ti ringrazio, ma purtroppo c'è una cosa che non mi torna... che poi è proprio quello che non mi tornava manco prima.
Quando dici $bar(y)=eta/(||y||)y$, la norma $||bar(y)||$ non è strettamente minore di $eta$. Anzi è proprio uguale ad $eta$.

In precedenza però avevamo ricavato informazioni per $||y||aperta di raggio $eta$. E se la palla è aperta, il minore è stretto...).

P.S.: Beh, vabbé. Ci ho riflettuto un altro poco e adesso mi rendo conto che non vale la pena fare tanto casino per un segno di minore stretto. Ridefinendo $eta:=eta/2$ (passatemi il gergo da programmazione, è per non introdurre nuovi simboli), otteniamo informazioni per $||y||<=eta$. E da adesso in poi il ragionamento fila.

[deserto1]

Hai ragione.

E se ponessimo $\bar{y}=eta/(2||y||)y$ ?
Vedremo subito che sono soddisfatte le ipotesi di cui sopra, ossia è $||bar{y}|| Si avrebbe poi

$||bar{y}-Lambdabar{x}||=eta/(2||y||)||y-Lambda((2||y||)/etabar{x})||$.

Poniamo $x=(2||y||)/etabar{x}$

Da $x=(2||y||)/etabar{x}$ ho: $||x||<=4bar{k}/eta||y||$.

Ora niente mi vieta di rinominare $2bar{k}=bar{bar{k}}$

Se pongo $delta=eta/(2bar{bar{k}})$, ho:

$(\forally\inY, \forallepsilon), existsx\inX$ tale che $||x||<=1/(delta)||y||$ e $||y-Lambdax||<=epsilon$

Ci stiamo avvicinando?

[dissonance]

Non solo ci stiamo avvicinando, credo anzi che siamo arrivati.
Tu in ultima analisi dici: non ce lo ha detto il medico che $delta=eta/(2k)$, possiamo prenderne uno più piccolo e le cose funzioneranno. E sicuramente va bene, del resto queste costanti $delta, eta, k,...$ non sono rilevanti ai fini del teorema. Noi dobbiamo solo dimostrare che "esiste $delta$ tale che...", e l'abbiamo fatto. Sicuramente Rudin intendeva qualcosa del genere.

Grazie! Certo che Rudin poteva anche sprecarla una parolina in più! E' un autore che a me piace moltissimo, il suo principi di analisi matematica è tra i miei libri preferiti di sempre. Ma quando fa così mi fa arrabbiare !