Un particolare insieme finito.

[_GaS_11]

Un insieme e' limitato se '' $INF(A)>(-infty)$ '' e '' $SUP(A)<+infty$ ''. In altri termini e' limitato se il diametro '' $diamA=SUPd(x,y)<+infty$ '', con '' $x,yinA$ ''.
In genere un insieme finito '' $A={x_1,...,x_n}$ '' e' limitato, in quanto basta prendere gli estremi che ( per ora ) ammettiamo come numeri, oppure si ricava il diametro tramite i due punti la cui distanza sia massima.
Ma: sia '' $E={2,4,12,n}$ '', con '' $ntoinfty$ ''. In questo caso l'insieme finito non dovrebbe essere limitato...eppure mi sembra di aver capito che tutti gli insiemi finiti sono limitati... .
Magari '' $n$ '',in questo caso, non e' valido nel contesto di un insieme finito: forse, essendo una successione di valori, abbiamo che l'insieme '' $E$ '' e' infinito. Sono giunto a questo per il momento.

[ciampax]

Guarda che $E$ non è finito... o almeno credo: non è che sia proprio definito bene, sai?

[_GaS_11]

Intendevo questo: '' $EsubRR$ '', dotato della metrica euclidea.
Infatti e' proprio quello che mi chiedo...considerando '' $n$ '', '' $E$ '' e' un insieme finito?
Nel caso non dovesse esserlo, penso sarebbe a causa del fatto che '' $n$ '' e' una successione. O almeno cosi' mi sembra chiaro.

[_GaS_11]

Rinnovo.

[ciampax]

Ah ecco, allora avevo ragione: $E$ è infinito.

[_GaS_11]

Ciampax, ti ringrazio per la disponibilita' e la pazienza.
Per insieme finito intendo un insieme con un numero finito di elementi ( penso che sia corretta la definizione ).
In sintesi: mi pare di aver capito che un insieme finito e' limitato ( riferimenti al primo post ); pertanto ho impostato questo caso con un elemento tendente a infinito. In tal caso l'insieme non essendo limitato, non contraddice quanto finora esposto?
No, perche' '' ${2,4,12,n}$ '', con '' $ntoinfty$ '' non e' un insieme finito. Come mai non lo e'?
Penso che essendo '' $n$ '' una successione di valori, non lo si puo' considerare come un unico valore, pertanto l'insieme non sarebbe finito ( possiederebbe infiniti valori, proprio a causa della successione ).Il dubbio e' proprio sull'ultimo passaggio.

[ciampax]

Un insieme è finito se possiede un numero finito di elementi. L'insieme $E$ che hai scritto coincide con l'insieme dei numeri naturali, che è infinito. Pertanto $E$ è infinito e non è limitato (lo è inferiormente ma non superiormente).

[_GaS_11]

Deve per forza coincidere con '' $NN$ ''? '' $EsubRR$ ''.
L'importante e' questo: nonostante '' $n$ '' sembri un unico valore, non lo e' affatto. Questo perche' tendendo ad infinito e' una successione di valori, e quindi non puo' essere considerato un singolo valore ( singleton ). Da qui segue che '' $E$ '' e' infinito.
Quindi in un insieme '' $A$ '' finito vi sono necessariamente valori finiti ( '' $(x)inA,-infty

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[ciampax]

Allora, vediamo di chiarirci: per prima cosa come ti dicevo all'inizio definisci $E$ male. Se lo definisci come hai fatto, allora $n$ deve essere un valore fissato, per cui non puoi supporre che $n\to\infty$ perché non ha senso. La tua definizione di $E$ equivale a questa $E=\{a,b,c,d\}$ o a questa $E=\{3,l,mucca,ciao\}$: hai semplicemente definito un insieme con 4 elementi, dove alcuni di essi sono "strani". La definizione corretta nel senso che stai dando tu di $E$ è questa

$E=\{2,\ 4,\ 12,\ \{n\}_{n\in NN}\}$

Questo insieme coincide con $NN$ e quindi è infinito (e non devi fare ragionamenti assurdi sui diametri o altro per dimostrarlo).

Nel caso in cui invece $n$ sia fissato e quindi $E=\{2,\ 4\, 12,\ n\}$ l'insieme è finito (composto da $4$ elementi e non "elementi finiti".... questo vuol dire che un insieme è finito!) e quindi, inevitabilmente, limitato. In particolare, a seconda del valore di $n$ si ha

\[\inf(E)=\min(E)=\left\{\begin{array}{lcl}
2 & & n\ge 2\\ n & & n<2
\end{array}\right.\qquad\sup(E)=\max(E)=\left\{\begin{array}{lcl}
12 & & n\le 12\\ n & & n>12
\end{array}\right.\]

Inoltre si ha

\[\mathrm{diam}(E)=\left\{\begin{array}{lcl}
12-n & & n<2\\ 12-2=10 & & 2\le n\le 12\\ n-2 & & n>12
\end{array}\right.\]

Ma ripeto, in questo modo $n$ lo devi fissare e non puoi "mandarlo" ad infinito.

[_GaS_11]

Penso di non aver assimilato qualche definizione in questo caso, oppure non mi sono spiegato bene ( oppure non so leggere )... .
Per '' $ntoinfty$ '' non intendo una vera e propria successione del tipo: $13,...20,..,n,...$. Ma un valore limite, grande a piacere. All'apparenza sembrerebbero esserci quattro elementi in '' $E$ ''. Tuttavia un limite e' una successione di valori ( ci si basa sugli spazi metrici ), e quindi pensavo che '' $n$ '', in quanto tale essendo un limite, non e' considerabile come singolo valore. Da cui quello prima esposto.
EDIT: scusa, il tuo ultimo messaggio e' arrivato mentre scrivevo.

[_GaS_11]

Bene, ti ringrazio.
Quindi non posso definire l'insieme in quel modo a causa di quel valore. L'errore stava nel considerare l'infinito come attuale, quando lo puo' essere solo in potenza. Quindi per quanto grande sia '' $n$ '' rimane pur sempre finito. Quindi l'infinito, avendo senso in potenza, si traduce matematicamente con una successione di valori ( '' ${n}_(ninNN)$ '', come da te affermato ), e non con un singolo valore. Ti ringrazio, chiaro.

[ciampax]

Guarda che questa è matematica, non la "Critica della ragion Pura" di Kant!

[_GaS_11]

Vero, ma sono convinto del fatto che, prima della formalizzazione matematica dei concetti, vi sia una '' radice filosofica '' di questi. Un fatto che ritengo importantissimo.