Un paio di questioni su una funz. in due variabili
Ho il seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle f:A \to \mathbb{R} \), \(\displaystyle A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; x^2 + y^2 < 1 \} \), la funzione \[\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} xy(-\log(x^2 + y^2))^{1/2} & 0
ii) Provare che esistono \(\displaystyle f_{xx} \), \(\displaystyle f_{yy} \in \mathcal{C}(A) \);
iii) Stabilire se \(\displaystyle f \in \mathcal{C}^2(A) \).
Ho solo bisogno di un paio di conferme, il mio problema non sono i conti.
Allora, per il punto (i) mi pare di poter dire a priori che la funzione è continua su \(\displaystyle A \setminus \{(0,0) \} \) in quanto composizione di funzioni continue, quindi si tratta di capire se è continua nell'origine. Fatti due conticini, lo è. Quindi passo alle derivate parziali, di cui scrivo l'espressione analitica di una delle due: \[\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y((x^2 + y^2)\log(x^2 + y^2) + x^2)}{(x^2 + y^2) \sqrt{\log ( x^2 + y^2)}} \] e anche qui direi che il problema è sempre nell'origine e, fatti altri due conti, si trova che anche le derivate parziali si estendono con continuità.
Ora, mi pare un delirio mettersi a calcolare le derivate seconde. Del resto così a occhio il problema sarà sempre nell'origine visto che ho logaritmi e polinomi che sono funzioni "belle". Quindi che faccio per sbrogliare il punto (ii), mi butto semplicemente sulla definizione e controllo che limiti destro e sinistro del rapporto incrementale coincidano?
Sia \(\displaystyle f:A \to \mathbb{R} \), \(\displaystyle A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; x^2 + y^2 < 1 \} \), la funzione \[\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} xy(-\log(x^2 + y^2))^{1/2} & 0
ii) Provare che esistono \(\displaystyle f_{xx} \), \(\displaystyle f_{yy} \in \mathcal{C}(A) \);
iii) Stabilire se \(\displaystyle f \in \mathcal{C}^2(A) \).
Ho solo bisogno di un paio di conferme, il mio problema non sono i conti.
Allora, per il punto (i) mi pare di poter dire a priori che la funzione è continua su \(\displaystyle A \setminus \{(0,0) \} \) in quanto composizione di funzioni continue, quindi si tratta di capire se è continua nell'origine. Fatti due conticini, lo è. Quindi passo alle derivate parziali, di cui scrivo l'espressione analitica di una delle due: \[\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y((x^2 + y^2)\log(x^2 + y^2) + x^2)}{(x^2 + y^2) \sqrt{\log ( x^2 + y^2)}} \] e anche qui direi che il problema è sempre nell'origine e, fatti altri due conti, si trova che anche le derivate parziali si estendono con continuità.
Ora, mi pare un delirio mettersi a calcolare le derivate seconde. Del resto così a occhio il problema sarà sempre nell'origine visto che ho logaritmi e polinomi che sono funzioni "belle". Quindi che faccio per sbrogliare il punto (ii), mi butto semplicemente sulla definizione e controllo che limiti destro e sinistro del rapporto incrementale coincidano?
Risposte
In effetti mettersi a derivare quella roba non è un'ipotesi invitante 
. Io, come hai detto tu, proverei con la definizione. Con una passaggio a coordinate polari non dovrebbe essere troppo laborioso risolvere i limiti...
Altre idee non me ne vengono!
. Io, come hai detto tu, proverei con la definizione. Con una passaggio a coordinate polari non dovrebbe essere troppo laborioso risolvere i limiti...Altre idee non me ne vengono!
Sì, con la definizione mi pare ci si semplifichi la vita. Rimane il punto (iii): mi pare che il problema sia ancora nell'origine, e a questo punto devo valutare le altre due derivate parziali, cioè \(\displaystyle f_{xy} \) e \(\displaystyle f_{yx} \). Per la continuità su i restanti punti me la sbrigherei di nuovo dicendo che si tratta di composizioni di funzioni continue. Tu cosa ne pensi?
Ho fatto anch'io questo esercizio e sono d'accordo con quanto hai scritto, salvo che provando a calcolare [tex]f_{xy}[/tex] in 0 trovo che non esiste e che quindi [tex]f[/tex] non è di classe [tex]C^2[/tex].
Ottimo. Grazie ad entrambi!
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