Un paio di domini di funzioni a due variabili (esame immediato! ugh!)
Ciao ragazzi, fra poco impazzisco, esame a breve (troppo a breve) e trovo sempre qualche esercizio pronto a distruggermi!
Oggi mi sono imbattuto in diversi problemi per i domini!
Per questa forma differenziale :
$ omega= 8x/3(x^2-y^2-1)^(1/3)logy dx +[(x^2-y^2-1)^(4/3)]/y - 8/3y(x^2-y^2-1)^(1/3) logy dy $
Trovo che il dominio è:
$ y>0 $ per il logaritmo e per il denominatore
e poi qui iniziano i problemi:
$ sqrt(x^2-y^2-1) ≠ 0 $ in quanto ho una radice cubica e come mi hanno insegnato ad analisi uno con la radice cubica basta che l'argomento sia diverso da zero!
Ora però lo svolgimento di questo esercizio mi riporta che in realtà non dovrei avere questa disuguaglianza ma piuttosto:
$ sqrt(x^2-y^2-1) ≥ 0 $ che mi dà pure l'iperbole da rappresentare! Qualcuno mi può spiegare perché e dove sbaglio?
----------------------------------
E un'altra difficoltà analoga in questo calcolo di punti critici:
$ f(x,y) = 3x^2 + 4y^2 -sqrt(x^2-y^2)$
Calcolo il dominio e trovo che
$ x^2-y^2 ≥ 0 $ da cui posso dedurre che $ x^2 ≥ y^2$
Facendo la derivata prima rispetto ad x e y mi trovo un'altra condizione nel dominio:
$ sqrt(x^2-y^2) ≠ 0 $ (perché a denominatore nella derivata prima), elevo al quadrato e trovo che $ x^2 ≠ y^2 $
Unisco al dominio precedente trovando che:
$ x^2 > y^2 $
Come al caso precedente però controllando lo svolgimento mi riporta come unico dominio $ x ≠ y $.
Perché?
Oggi mi sono imbattuto in diversi problemi per i domini!
Per questa forma differenziale :
$ omega= 8x/3(x^2-y^2-1)^(1/3)logy dx +[(x^2-y^2-1)^(4/3)]/y - 8/3y(x^2-y^2-1)^(1/3) logy dy $
Trovo che il dominio è:
$ y>0 $ per il logaritmo e per il denominatore
e poi qui iniziano i problemi:
$ sqrt(x^2-y^2-1) ≠ 0 $ in quanto ho una radice cubica e come mi hanno insegnato ad analisi uno con la radice cubica basta che l'argomento sia diverso da zero!
Ora però lo svolgimento di questo esercizio mi riporta che in realtà non dovrei avere questa disuguaglianza ma piuttosto:
$ sqrt(x^2-y^2-1) ≥ 0 $ che mi dà pure l'iperbole da rappresentare! Qualcuno mi può spiegare perché e dove sbaglio?
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E un'altra difficoltà analoga in questo calcolo di punti critici:
$ f(x,y) = 3x^2 + 4y^2 -sqrt(x^2-y^2)$
Calcolo il dominio e trovo che
$ x^2-y^2 ≥ 0 $ da cui posso dedurre che $ x^2 ≥ y^2$
Facendo la derivata prima rispetto ad x e y mi trovo un'altra condizione nel dominio:
$ sqrt(x^2-y^2) ≠ 0 $ (perché a denominatore nella derivata prima), elevo al quadrato e trovo che $ x^2 ≠ y^2 $
Unisco al dominio precedente trovando che:
$ x^2 > y^2 $
Come al caso precedente però controllando lo svolgimento mi riporta come unico dominio $ x ≠ y $.
Perché?
Risposte
La prima forma ha come dominio $y>0$ e basta: la radice cubica è sempre definita.
Per la seconda, devi porre $x^2-y^2\ge 0$ da cui ottieni $(x-y)(x+y)\ge 0$ che si riconducono ai due casi
$$x-y\ge 0,\qquad x+y\ge 0$$
e
$$x-y\le 0,\qquad x+y\le 0$$
Per la seconda, devi porre $x^2-y^2\ge 0$ da cui ottieni $(x-y)(x+y)\ge 0$ che si riconducono ai due casi
$$x-y\ge 0,\qquad x+y\ge 0$$
e
$$x-y\le 0,\qquad x+y\le 0$$
"ciampax":
La prima forma ha come dominio $y>0$ e basta: la radice cubica è sempre definita.
Mio dio, sì, la radice cubica è sempre definita..come mi è uscito quel "diverso da zero" (e per fortuna che ho scritto "come mi hanno insegnato ad analisi 1"
).Comunque bah, allora bene o male si trova come avevo pensato, a questo punto credo che abbia sbagliato lo svolgimento, sennò non capisco da dove possa uscire quel $ sqrt(x^2-y^2-1) ≥ 0 $ che mi dà pure l'iperbole da rappresentare.
"ciampax":
Per la seconda, devi porre $ x^2-y^2\ge 0 $ da cui ottieni $ (x-y)(x+y)\ge 0 $ che si riconducono ai due casi
\[ x-y\ge 0,\qquad x+y\ge 0 \]
e
\[ x-y\le 0,\qquad x+y\le 0 \]
Ok, $ (x-y)(x+y) ≥ 0 $ come lo devo svolgere? Devo fare il falso sistema?
Non fa niente che poi facendo la derivata prima mi trovo altre condizioni di esistenza?
Quindi anche in questo comunque non mi troverei con lo svolgimento che mi riporta solo $x≠ y$.
Comunque grazie 1000!
1) forse la forma non è come l'hai scritta e quella radice sta dentro al logaritmo?
2) devi risolvere graficamente.
2) devi risolvere graficamente.
"ciampax":
1) forse la forma non è come l'hai scritta e quella radice sta dentro al logaritmo?
2) devi risolvere graficamente.
1) nono, tutto corretto, controllato e rifatto non so quante volte! Allora avrà sbagliato chi ha fatto lo svolgimento.
2) Io questo lo svolegerei così $ x-y ≥ 0 , x+y ≥ 0 $ quindi discuto il segno facendo il grafico e scelgo i risultati "positivi" che sono quindi $x≤-y$ e $x ≥ y$ . Basta così?
Risolvere graficamente, con disequazioni in due variabili, significa disegnare nel piano cartesiano le curve e le condizioni date.
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