Un paio di domandine sulle funzioni convesse.

[Nebula2]

mi servirebbe la risposta ad un paio di questioni, che ho il sospetto siano abbastanza semplici ma continuano a sfuggirmi:

$f:RRrarrRR$ convessa in un aperto limitato $U => f$ lipschitziana
$f:RRrarrRR$ convessa in un aperto limitato $U => AAp inU$ $EErinRR$ $|$ $AAqin U$ $f(q)>=f(p)+r(q-p)[/list:u:1njwlc3e]

che ne dite?

EDIT:
$f:RRrarrRR$ convessa in $RR => f$ localmente lipschitziana
$f:RRrarrRR$ convessa in $RR => AAp inU$ $EErinRR$ $|$ $AAqin U$ $f(q)>=f(p)+r(q-p)[/list:u:1njwlc3e]

[Luca.Lussardi]

La prima è facile, sai che una funzione convessa è localmente lipschitziana, quindi se $U$ è limitato è a chiusura compatta, e usi la compattezza per avere la lipschitzianità su tutto $U$.

[Nebula2]

beh... mi mancava appunto la dimostrazione della locale lipschitzianità.

e per il secondo punto?

[Cmax1]

Non mi è chiaro il primo punto. La funzione $\frac{1}{1-x^2}$ è convessa nell'aperto $U = (-1,1)$, ed è lipschitziana su qualsiasi intervallo chiuso contenuto in $U$. È equivalente a dire che è lipschitziana su tutto $U$?

[Fioravante Patrone1]

no, se hai una funzione definita solo su $U$ non si può dire che sia lipschitz su tutto $U$
e il tuo è un esempio che mostra per l'appunto questo fatto

la domanda di Nebula è formulata in modo un po' ambiguo o che comunque può indurre in errore
Luca Lussardi forse ha "letto" nella domanda di Nebula che la $f$ era definita e convessa su tutto $RR$, in tal caso $f$ è continua su tutto $RR$ in quanto convessa

propendo a credere che sia questa la situazione che interessa a Nebula

se invece la convessità è data solo su $U$, allora il tuo è un controesempio (basta prolungare $f$ a piacimento fuori di $U$)

[Nebula2]

beh, l'esempio di cmax ha fatto vedere che la mia domanda era imprecisa.
quello che non mi è tutt'ora chiaro è come si dimostra la locale lipschizianità a partire dalla convessità

[erasmo1]

In realta' vale un fatto che credo sia leggermente piu' forte:

se $[a, b]$ e' contenuto in $U$, allora $f$ e' lipschitziana su $[a, b]$

Sia $\epsilon > 0$ tale che $a - \epsilon$ e $b + \epsilon$ siano in $U$ ($U$ e' aperto) e siano
$m$ e $M$ l'inf e il sup di $f$ su $[a - \epsilon, b + \epsilon]$ (non dimentichiamo che $f$ e' limitata).
Se $x$ e $y$ sono punti distinti di $[a, b]$, poniamo
$z = y + \frac \epsilon |y - x| (y - x)$ e $\lambda = \frac |y - x| {\epsilon + |y - x|}$.
Cosi' $z$ sta in $[a - \epsilon, b + epsilon]$, $y = \lambda z + (1 - \lambda) x$, da cui per la convessita'
$f(y) <= \lambda f(z) + (1 - \lambda) f(x) = \lambda (f(z) - f(x)) + f(x)$, e cioe'
$f(y) - f(x) <= \lambda (f(z) - f(x)) <= \lambda (M - m) < \frac |y - x| \epsilon (M - m) = K |y - x|$,
con $K = \frac {M - m} \epsilon$. Scambiando i ruoli di $x$ e $y$, si ottiene infine
$|f(y) - f(x)| <= K |y - x|$. Q. E. D.

[Nebula2]

"erasmo":non dimentichiamo che $f$ e' limitata.

perchè?

e per il secondo punto cosa mi dici?

[erasmo1]

"Nebula":[quote="erasmo"]non dimentichiamo che $f$ e' limitata.

perchè?[/quote]

si vede subito: sia $M$ il massimo tra $f(a)$ e $f(b)$; allora per ogni $z$ in $[a, b]$ esiste ovviamente $\lambda$ tale che $z = \lambda a + (1 - \lambda) b$, per cui $f(z) <= \lambda f(a) + (1 - \lambda) f(b) <= \lambda M + (1 - \lambda) M = M$, e quindi $f$ e' limitata superiormente da $M$

poi, ancora per $z$ in $[a, b]$, esiste $t$ tale che $z = c + t$, con $c = \frac {a + b} 2$; ma da $c = 1/2 (c + t) + 1/2 (c - t)$ segue $f(c) <= 1/2 f(c + t) + 1/2 f(c - t)$ e poi $f (c + t) >= 2 f(c) - f(c - t)$

ora siccome $z = c + t$ sta in $[a, b]$ anche $c - t$ sta in $[a, b]$, e quindi $f(c - t) <= M$, e percio' $f (z) = f(c + t) >= 2 f(c) - M$, e quindi $f$ e' pure limitata inferiormente

"Nebula":e per il secondo punto cosa mi dici?

devo pensarci un po'...

[Nebula2]

...nessuno per il secondo punto???