Un nuovo integrale...DUBBIOSO!!!!
Allora...il mio nuovo integrale è questo...
$\int_{0}^{infty}(xsin(x^2))/((x^8)+16)dx$
Come primo passo ho sostituito x^2 con t ottenendo:
$\int_{0}^{infty}sint/((t^4)+16)dt$
Da qùi sono passato all'analisi complessa, calcolando i poli e considerando solo quelli del semipiano positivo
$z=(sqrt(2))(1+i)$
$z=(sqrt(2))(-1+i)$
A questo punto, considerando la funzione
$\int_{-infty}^{infty}(e^(iz))/((z^4)+16)dz$
e seguendo la formula di eulero, otterrei la similitudine con la mia funzione solo se prendessi la sua parte immaginaria.
La mia domanda è questa:
Posso applicare lo stesso la risluzione dell'integrale sfruttando i residui, ottenendo:
$\Im(int_{-infty}^{infty}(e^(iz))/((z^4)+16)dz) = \int_{-infty}^{infty}sint/((t^4)+16)dt = Im(2i\pi\sum_{k=0}^{N}Res)$
Ho toppato qualcosa o è concettualmente giusto??
Quindi a questo punto dovrei semplicemente calcolare i residui nei poli positivi (sto considerando il cammino definito dalla semicirconferenza nel semipiano positivo) e farne la sommatoria???
Il dubbio mi viene perchè mettendo l'integrale in una calcolatrice scientifica da come risultato 0,08...e a me l'integrale così calcolato da valore 0...Dove sbaglio???
AIUTOOOOOO
$\int_{0}^{infty}(xsin(x^2))/((x^8)+16)dx$
Come primo passo ho sostituito x^2 con t ottenendo:
$\int_{0}^{infty}sint/((t^4)+16)dt$
Da qùi sono passato all'analisi complessa, calcolando i poli e considerando solo quelli del semipiano positivo
$z=(sqrt(2))(1+i)$
$z=(sqrt(2))(-1+i)$
A questo punto, considerando la funzione
$\int_{-infty}^{infty}(e^(iz))/((z^4)+16)dz$
e seguendo la formula di eulero, otterrei la similitudine con la mia funzione solo se prendessi la sua parte immaginaria.
La mia domanda è questa:
Posso applicare lo stesso la risluzione dell'integrale sfruttando i residui, ottenendo:
$\Im(int_{-infty}^{infty}(e^(iz))/((z^4)+16)dz) = \int_{-infty}^{infty}sint/((t^4)+16)dt = Im(2i\pi\sum_{k=0}^{N}Res)$
Ho toppato qualcosa o è concettualmente giusto??
Quindi a questo punto dovrei semplicemente calcolare i residui nei poli positivi (sto considerando il cammino definito dalla semicirconferenza nel semipiano positivo) e farne la sommatoria???
Il dubbio mi viene perchè mettendo l'integrale in una calcolatrice scientifica da come risultato 0,08...e a me l'integrale così calcolato da valore 0...Dove sbaglio???
AIUTOOOOOO
Risposte
Occhio alla sostituzione: con la posizione $x^2=t$ si ottiene che
$int_0^oo (x sin(x^2))/(x^8+16)dx=1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt$.
Essendo l'integrale su $[0,+oo[$ il percorso adeguato è il segmento $[0,k]$ sulla retta reale + il tratto di circonferenza di centro l'origine e raggio $k$ + il segmento $[jk,0]$ sulla retta immaginaria.
Non ho controllato, ma facendo tendere $k to oo$ per qualche oppurtuno lemma l'integrale sugli ultimi due tratti dovrebbe tendere a $0$, dunque si ha
$1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt=1/2 ccIccm[oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz]=1/2ccIccm[2pij Res_(f)[sqrt2(1+j)]]=1/2ccIccm[-2pij ((1/32+j/32)e^(sqrt2(j-1)))/sqrt2]=pi/2((e^(-sqrt2)sinsqrt2)/(16sqrt2)-(e^(-sqrt2)cossqrt2)/(16sqrt2))$.
$int_0^oo (x sin(x^2))/(x^8+16)dx=1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt$.
Essendo l'integrale su $[0,+oo[$ il percorso adeguato è il segmento $[0,k]$ sulla retta reale + il tratto di circonferenza di centro l'origine e raggio $k$ + il segmento $[jk,0]$ sulla retta immaginaria.
Non ho controllato, ma facendo tendere $k to oo$ per qualche oppurtuno lemma l'integrale sugli ultimi due tratti dovrebbe tendere a $0$, dunque si ha
$1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt=1/2 ccIccm[oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz]=1/2ccIccm[2pij Res_(f)[sqrt2(1+j)]]=1/2ccIccm[-2pij ((1/32+j/32)e^(sqrt2(j-1)))/sqrt2]=pi/2((e^(-sqrt2)sinsqrt2)/(16sqrt2)-(e^(-sqrt2)cossqrt2)/(16sqrt2))$.
"elgiovo":
Occhio alla sostituzione: con la posizione $x^2=t$ si ottiene che
$int_0^oo (x sin(x^2))/(x^8+16)dx=1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt$.
Essendo l'integrale su $[0,+oo[$ il percorso adeguato è il segmento $[0,k]$ sulla retta reale + il tratto di circonferenza di centro l'origine e raggio $k$ + il segmento $[jk,0]$ sulla retta immaginaria.
Non ho controllato, ma facendo tendere $k to oo$ per qualche oppurtuno lemma l'integrale sugli ultimi due tratti dovrebbe tendere a $0$, dunque si ha
$1/2int_0^(oo) (sint)/(t^4+16) dt=1/2 ccIccm[oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz]=1/2ccIccm[2pij Res_(f)[sqrt2(1+j)]]=1/2ccIccm[-2pij ((1/32+j/32)e^(sqrt2(j-1)))/sqrt2]=pi/2((e^(-sqrt2)sinsqrt2)/(16sqrt2)-(e^(-sqrt2)cossqrt2)/(16sqrt2))$.
Scusa...la molt per un mezzo l'avevo scordata nella trascrizione...
Ma...scusa....se ho ben interpretato quindi il mio ragioamento fila...
Magari hai sbagliato qualche calcolo, se l'integrale ti viene nullo seguendo il mio ragionamento.
Comunque, ricontrollando il risultato numericamente mi sono accorto di aver sbagliato. A tendere a $0$ è solamente l'integrale sull'arco di circonferenza.
L'integrale $oint(e^(jz))/(z^4+16)dz$ vale sul percorso suddetto $int_[[0,k]]+int_gamma + int_[[jk,0]]$, quindi $int_([0,+oo]) $$=oint(e^(jz))/(z^4+16)dz-int_[[joo,0]]$.
Il primo dei due integrali l'ho calcolato in precedenza con il residuo in $sqrt2(1+j)$. Il secondo vale $j int_oo^0 (e^(-t))/(t^4+16)dt=1/j int_0^oo(e^(-t))/(t^4+16)dt$,
ma qui non so procedere. Mathematica restituisce un numero espresso attraverso la funzione G di Meijer ma sono convinto che si possa valutare in altro modo.
Comunque, ricontrollando il risultato numericamente mi sono accorto di aver sbagliato. A tendere a $0$ è solamente l'integrale sull'arco di circonferenza.
L'integrale $oint(e^(jz))/(z^4+16)dz$ vale sul percorso suddetto $int_[[0,k]]+int_gamma + int_[[jk,0]]$, quindi $int_([0,+oo]) $$=oint(e^(jz))/(z^4+16)dz-int_[[joo,0]]$.
Il primo dei due integrali l'ho calcolato in precedenza con il residuo in $sqrt2(1+j)$. Il secondo vale $j int_oo^0 (e^(-t))/(t^4+16)dt=1/j int_0^oo(e^(-t))/(t^4+16)dt$,
ma qui non so procedere. Mathematica restituisce un numero espresso attraverso la funzione G di Meijer ma sono convinto che si possa valutare in altro modo.
Ma allora il mio procedimento di utilizzare la parte immaginaria della funzione uguagliandola alla parte immaginaria del prodotto della sommatoria dei residui per $2\pi$ ha senso o no???
Certo che ha senso, ma non basta. Ti ho fatto vedere poc'anzi che l'integrale richiesto è la differenza tra l'integrale lungo l'intero percorso, calcolato coi residui, e l'integrale lungo il semiasse immaginario positivo.
"elgiovo":
Certo che ha senso, ma non basta. Ti ho fatto vedere poc'anzi che l'integrale richiesto è la differenza tra l'integrale lungo l'intero percorso, calcolato coi residui, e l'integrale lungo il semiasse immaginario positivo.
Ma come mai lungo il semiasse positivo??
Voglio dire, dato che a me serve l'integrale in R, utilizzo il percorso chiuso dalla semicirconferenza nel semiasse positivo. Avrei quindi che l'intero integrale può essere visto come l'integrale lungo il percorso che è uguale alla somma dell'integrale lungo la circonferenza (che tende a zero per il lemma di Jordan) e quello da -R ad R. Ovvero:
$\int_{cammino}^{}f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(x)+\int_{CIRCO}^{}f(z)=2\pi \sum_{k=0}^{infty}Res$
Facendo poi il limite di $R->infty$
ottengo in definitiva:
$\int_{cammino}^{}f(z)dz=\int_{-infty}^{infty}f(x)+(\int_{CIRCO}^{}f(z)=0)=2\pi \sum_{k=0}^{infty}Res => \int_{cammino}^{}f(z)dz=\int_{-infty}^{infty}f(x)=2\pi \sum_{k=0}^{infty}Res$
Quindi io ho preso la parte immaginaria dell'intera funzione...Il semiasse immaginario positivo "scompare" dunque facendo tendere a zero l'integralle sulla circonferenza...
Scusa per le tante domande...ma l'analisi non è la mia materi preferita...come si può ben capire dai miei millemila dubbi...
Temo che non ci siamo capiti. La funzione è dispari, quindi non puoi integrare sul tratto $[-R,R]$ facendo poi scomparire l'integrale lungo la semicirconferenza. Questa tecnica è utile per funzioni pari, perchè per trovare l'integrale su $[0,+oo]$ basta poi dimezzare il risultato, ma nel caso di funzioni dispari l'integrale si annulla.
Allora il cammino da considerare è quello che ho detto prima, cioè segmento reale da $0$ a $R$ + quarto (e non metà) di circonferenza di centro $0$ e raggio $R$ + segmento puramente immaginario dal numero $jR$ a $0$. L'integrale sul quarto di circonferenza si annulla, ma non si annulla l'integrale lungo il segmento complesso $[jR,0]$, e bisogna calcolarlo in qualche modo.
Allora il cammino da considerare è quello che ho detto prima, cioè segmento reale da $0$ a $R$ + quarto (e non metà) di circonferenza di centro $0$ e raggio $R$ + segmento puramente immaginario dal numero $jR$ a $0$. L'integrale sul quarto di circonferenza si annulla, ma non si annulla l'integrale lungo il segmento complesso $[jR,0]$, e bisogna calcolarlo in qualche modo.
Ho pensato a come calcolare l'integrale lungo il semiasse immaginario. Riassumendo, si ha che l'integrale di partenza vale
$int_0^oo (xsin(x^2))/(x^8+16)dx=1/2 int_0^oo (sint)/(t^4+16)dt=1/2ccIccm[ oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-t))/(t^4+16)dt] $.
Il primo integrale tra parentesi quadre si calcola agevolmente con il residuo in $sqrt2(1+j)$. Per calcolare il secondo ho pensato di ricondurmi nuovamente a un integrale complesso.
Per semplicità, lavoriamo con $int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt$, del quale basta dimezzare la parte immaginaria per ottenere il risultato.
$int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-t))/(t^4+16)dt$
$=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+j[oint_gamma (e^(-z))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-it))/(t^4+16)dt]$.
Ma $int_0^oo (e^(-jt))/(t^4+16)dt$ è il complesso coniugato di $int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt$, dunque, detto $z$ l'ultimo integrale, si deve risolvere
$zeta=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+j(oint_gamma (e^(-z))/(z^4+16)dz+jbarzeta)$.
Sembra però esserci qualche problema, perchè a detta del computer (il quale conferma l'identità precedente) $zeta$ è puramente reale.
Qualcuno vede l'errore?
$int_0^oo (xsin(x^2))/(x^8+16)dx=1/2 int_0^oo (sint)/(t^4+16)dt=1/2ccIccm[ oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-t))/(t^4+16)dt] $.
Il primo integrale tra parentesi quadre si calcola agevolmente con il residuo in $sqrt2(1+j)$. Per calcolare il secondo ho pensato di ricondurmi nuovamente a un integrale complesso.
Per semplicità, lavoriamo con $int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt$, del quale basta dimezzare la parte immaginaria per ottenere il risultato.
$int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-t))/(t^4+16)dt$
$=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+j[oint_gamma (e^(-z))/(z^4+16)dz+jint_0^oo (e^(-it))/(t^4+16)dt]$.
Ma $int_0^oo (e^(-jt))/(t^4+16)dt$ è il complesso coniugato di $int_0^oo (e^(jt))/(t^4+16) dt$, dunque, detto $z$ l'ultimo integrale, si deve risolvere
$zeta=oint_gamma (e^(jz))/(z^4+16)dz+j(oint_gamma (e^(-z))/(z^4+16)dz+jbarzeta)$.
Sembra però esserci qualche problema, perchè a detta del computer (il quale conferma l'identità precedente) $zeta$ è puramente reale.
Qualcuno vede l'errore?
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