Un limite ostico

[oxyz]

Buongiorno a tutti, mi sono appena iscritto, non riesco a risolvere questo limite
$lim_(x->0)(e^(1/sin x)-e^(1/tan x))$
Vogliate aiutarmi, grazie.

[albertobosia]

effettivamente la vedo dura... come hai pensato di procedere?

[gugo82]

Suggerirei di scrivere la funzione sotto il segno di limite come:
\[
\exp \left( \frac{1}{\sin x}\right)\ \left[ 1-\exp\left( \frac{\sin x -\tan x}{\sin x\ \tan x}\right)\right]
\]
e di usare approssimazioni asintotiche.

[oxyz]

Grazie per il suggerimento, gugo82! sei stato di aiuto notevole, il limite l'ho risolto!

[oxyz]

Ho un dubbio: se risolvessi il limite nel modo seguente, la funzione si annullerebbe con risultato del limite 0, in contrasto con la precedente risoluzione. Dove sbaglio?

$lim_(x->0)(e^(1/sin x)-e^(1/tan x))$=$e^(lim_(x->0)(1/sin x))-e^(lim_(x->0)(1/tan x))$
poichè sin x $\sim$ x, tan x $\sim$ x,
$lim_(x->0)(e^(1/x)-e^(1/x))=0$

[gugo82]

Non è lecito il primo passaggio, perché il limite di una somma è la somma dei limiti solo quando non hai a che fare con forme indeterminate.

[theras]

Ciao ad entrambi!
Mah..a mio avviso quel limite è immediato se $x->0^-$,mentre se $x->0^+$ basta mettere in evidenza $e^(1/(tgx))$ e poi dividere e moltiplicare,distribuendo opportunamente i denominatori,per $(1/(senx)-1/(tgx))1/(tgx)=(1-cosx)/(cosx)$;
ne dovrebbe saltar fuori che quel limite non esiste e che $x_0=0$ è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione che si stà passando al limite:
ma ci vado coi piedi di piombo,perchè ogni volta che esco quest'ultimo argomento attiro l'ira di troppi ..
Saluti dal web.