Un limite in due variabili

[valentina921]

Salve a tutti,
sto facendo un limite di una funzione a due variabili, sbaglio ma non capisco dove; spero qualcuno possa aiutarmi.
Devo calcolare il limite per di :

$lim_((x,y)->(0,0)) (e^(xy^2)-1)/(x^2+y^4)$.

Ho pensato di passare in coordinate polari, per ricondurmi al limite ad una sola variabile:

$lim_(\rho->0) (e^(\rho^3cos\thetasen^2\theta)-1)/(\rho^2cos^2\theta+\rho^4sen^4\theta)$.

Sostituendo subito $\rho$ viene $0/0$ , quindi uso il teorema di de L'Hospital e ottengo:

$lim_(\rho->0) (3\rho^2e^(\rho^3cos\thetasen^2\theta))/(2\rho(cos^2\theta+2\rho^2sen^4\theta))=lim_(\rho->0) (3\rhoe^(\rho^3cos\thetasen^2\theta))/(2(cos^2\theta+2\rho^2sen^4\theta))=0/(2cos^2\theta)=0$

Poiché il limite non dipende da $\theta$ , concludo che esiste e vale 0. Invece questo limite non esiste. Dove sbaglio? So che per dimostrare che un limite non esiste posso ad esempio provare a calcolarlo lungo diverse direzioni, ma anche calcolandolo con le coordinate polari avrei dovuto ottenere un risultato che conduce alla stessa conclusione, quindi vorrei sapere che cos'ho sbagliato in questo calcolo!

Grazie in anticipo

Valentina

[totissimus]

\(\displaystyle f(x,y)=\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^4}\)

\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x,0)=0\)

\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x^2,x)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{x^4}-1}{2x^4}=\frac{1}{2}\)

quindi \( \displaystyle \underset{( x,y) \rightarrow (0,0)}{\lim} f(x,y)\) non esiste.

[Rigel1]

"valentina92":Poiché il limite non dipende da $\theta$ , concludo che esiste e vale 0.

Sbagli qui.
Il limite non solo non deve dipendere da \(\theta\), ma deve essere uniforme in \(\theta\).
Come già detto più volte, si ha che
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = L\quad
\Longleftrightarrow\quad
\lim_{\rho\to 0^+} \sup_{\theta} \left| f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) - L\right| = 0.
\]
(Notare il \(\sup\) nell'ultimo limite.)