Un limite che mi confonde
Leggendo un articolo di relatività, mi sono imbattuto in questo limite :
$\lim_(\taurarr\infty) (a^2d cosh (a\tau) ) / \sqrt(a^2d^2senh^2(a\tau) +1 ) $
che l’autore pone senza indugi uguale ad $a$ . Sia $a$ che $d$ sono costanti positive, e la variabile è $\tau>0$.
Ho fatto alcuni passaggi, razionalizzando la funzione , e sono arrivato a dire che quanto sopra è uguale a :
$a*\lim_(\taurarr\infty) sqrt ( (cosh^2(a\tau))/(senh^2(a\tau) + 1/(a^2d^2) ) ) $
a questo punto chiedo : siccome il seno iperbolico e il coseno iperbolico tendono a infinito ( nel mio caso $+\infty$ visto che $a\tau >0$ , è possibile trascurare la quantità finita $1/(a^2d^2)$ a denominatore sotto radice, e dire che il limite della radice è uguale al limite di $1/(tanh(a\tau) $ per $\tau\rarrinfty$ , che fa $1$ ?
Credo di si, ma chiedo conferma. Tutte le condizioni di esistenza sono verificate.
$\lim_(\taurarr\infty) (a^2d cosh (a\tau) ) / \sqrt(a^2d^2senh^2(a\tau) +1 ) $
che l’autore pone senza indugi uguale ad $a$ . Sia $a$ che $d$ sono costanti positive, e la variabile è $\tau>0$.
Ho fatto alcuni passaggi, razionalizzando la funzione , e sono arrivato a dire che quanto sopra è uguale a :
$a*\lim_(\taurarr\infty) sqrt ( (cosh^2(a\tau))/(senh^2(a\tau) + 1/(a^2d^2) ) ) $
a questo punto chiedo : siccome il seno iperbolico e il coseno iperbolico tendono a infinito ( nel mio caso $+\infty$ visto che $a\tau >0$ , è possibile trascurare la quantità finita $1/(a^2d^2)$ a denominatore sotto radice, e dire che il limite della radice è uguale al limite di $1/(tanh(a\tau) $ per $\tau\rarrinfty$ , che fa $1$ ?
Credo di si, ma chiedo conferma. Tutte le condizioni di esistenza sono verificate.
Risposte
Sì, puoi farlo.
Alternativamente: anche senza razionalizzare, ricordando l'identità $\sinh^2 x=1+\cosh^2 x$ valida per ogni $x\in \mathbb{R}$, notando che $\frac{1+a^2 d^2}{\cosh^2 (a \tau)} \to 0$ per $\tau \to \infty$ ed essendo $\coshx \geq 1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (quindi $|\cosh x|=\cosh x$) si ha
$$\lim_{\tau \to \infty} \frac{a^2 d \cosh(a \tau)}{a d \cosh(a \tau)\sqrt{1+\frac{a^2 d^2+1}{a^2 d^2 \cosh^2(a \tau)}}}= \lim_{ \tau \to \infty} \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a^2 d^2+1}{a^2 d^2 \cosh^2(a \tau)}}}=\frac{a}{\sqrt{1+0}}=a$$
Alternativamente: anche senza razionalizzare, ricordando l'identità $\sinh^2 x=1+\cosh^2 x$ valida per ogni $x\in \mathbb{R}$, notando che $\frac{1+a^2 d^2}{\cosh^2 (a \tau)} \to 0$ per $\tau \to \infty$ ed essendo $\coshx \geq 1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (quindi $|\cosh x|=\cosh x$) si ha
$$\lim_{\tau \to \infty} \frac{a^2 d \cosh(a \tau)}{a d \cosh(a \tau)\sqrt{1+\frac{a^2 d^2+1}{a^2 d^2 \cosh^2(a \tau)}}}= \lim_{ \tau \to \infty} \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a^2 d^2+1}{a^2 d^2 \cosh^2(a \tau)}}}=\frac{a}{\sqrt{1+0}}=a$$
Ti ringrazio tanto, più tardi proverò seconde le tue indicazioni. A volte certe cose basilari sfuggono. In verità , più che “razionalizzare” avrei dovuto dire che ho portato tutto sotto radice. Comunque conta il risultato.
Ciao.
Ciao.
Prego! Ho modificato per esporlo meglio e perché con quella frazione sbagliavo con Latex dopo ogni uguale 
se non torna qualcosa sono qua!
se non torna qualcosa sono qua!
Ancora meglio: $cosh x, sinh x ~~ 1/2 e^x$ per $x -> + oo$, quindi numeratore e denominatore sono infiniti esponenziali dello stesso tipo e basta fare il rapporto dei coefficienti per calcolare il limite.
"gugo82":
Ancora meglio: $cosh x, sinh x ~~ 1/2 e^x$ per $x -> + oo$, quindi numeratore e denominatore sono infiniti esponenziali dello stesso tipo e basta fare il rapporto dei coefficienti per calcolare il limite.
Ottimo, grazie anche a te. Certi concetti, come il confronto di infiniti o di infinitesimi , si sono sbiaditi nella mia mente, ma sospettavo che si trattasse di questo.
Vi ringrazio.
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