Un limite carino

[Principe2]

provate un pò a calcolare il lim per (x,y) --> (0,0) di:

yx^2/(x^4 + y^2)

succedono un pò di cose curiose...

[Nidhogg]

A me esce 0.

Confermi?

Ciao

[cart1]

Se ci si avvicina al punto (0,0) con parabole tipo y=mx^2,si passa al limite per x--->0 si ottiene m/(m^2+1).Se il limite esiste è unico,ma per diversi valori di m qui abbiamo diversi valori per il limite,ergo il limite non può esistere.

[Principe2]

esatto cart: il limite non esiste. la cosa curiosa, che ha ingannato anche leonardo è che se si calcola il limite lungo il fascio di rette per l'origine si trova sempre 0... però... se si calcola, ad esempio, la curva di livello 1/2 si trova che è una parabola "passante" per l'origine, quindi il limite non può esistere; più in generale, come ha osservato karl, le curve di livello di quella funzione sono tutte parabole "passanti" per l'origine... carino vè!?

ciao, ubermensch

[Camillo]

Anch'io sono arrivato alle stesse conclusioni di cart , cioè che il limite non esiste ; anch'io ho pensato di vedere cosa succedeva se ci si avvicinava all'origine secondo una famiglia di parabole di equazione : y = k*x^2.
Ma se non avessi avuto questa " felice" intuizione come si sarebbe potutit arrivare alla giusta conclusione?
La mia domanda, posta in altro modo è : quale è il metodo generale per trovare il limite di una funzione di due variabili ?( passare alle coordinate polari ? )

[Principe2]

si può tentare di dimostrarlo utilizzando la definizione e, in quel caso, si vede che non si riesce a dimostrare nulla; la stessa cosa succede con le coordinate polari, non si riesce a mostrare che il limite per ro che tende a zero del sup...eccetera tende a 0; però, almeno per quello che ne so finora, sono tecniche limitate, nel senso che non si riesce a dimostrare che il limite sia quello, ma non si dimostra neanche che il limite non è quello; il trucchetto che utilizzo io in questi casi è calcolarmi le curve di livello; se ne trovo di livelli diversi allora il limite non esiste... altrimenti mi suicido...

[piero13]

1) fascio di rette per l'origine (x,kx) ==> se trovi che il limite dipende da K ==> non esiste


2) fascio di parabole (x, kx^2) ==> idem, se dipende da k ==> non esiste; altrimenti se è UGUALE a quello trovato con le rette, applichi la definizione.

Infine, SOLO con la definizione puoi dire che il limite C'E' ED è UGUALE ad un determinato valore

ciao

[Principe2]

ti sbagli piero.. nel senso che anche con la definizione, la funzione può essere talmente difficile da non riuscire a maggiorarla e quindi non puoi concludere niente; personalmente credo che la tecnica più sempice sia il passaggio alle coordinate polari.