Un iperpiano è trascurabile
Salve ragazzi 
Per pura curiosità mi chiedevo se fosse possibile, magari senza sfasciarsi la schiena di contazzi, dimostrare che un iperpiano di $RR^n$ ha misura di Lebesgue nulla evitando di utilizzare l'invarianza della misura per rotazioni e tralsazioni[nota]...ché altrimenti è facile: l'iperpiano $pi:\ x_n=0$ lo posso scrivere come "limite" di una successione crescente di "parallelepipedi" di altezza zero, cioè
\[\pi=\bigcup_{k=1}^\infty Q_k\qquad Q_k:=[-k,k]^{n-1}\times \{0\}\qquad Q_k\subseteq Q_{k+1}\qquad m(Q_k)\equiv 0\]
dunque
\[m(\pi)=\lim_{k\to\infty }m(Q_k)=0\]
Il caso generale seguirebbe da questo, dato che ogni altro iperpiano si ottiene da $pi$ mediante opportune rotazioni e traslazioni.[/nota]. Idee?
Per pura curiosità mi chiedevo se fosse possibile, magari senza sfasciarsi la schiena di contazzi, dimostrare che un iperpiano di $RR^n$ ha misura di Lebesgue nulla evitando di utilizzare l'invarianza della misura per rotazioni e tralsazioni[nota]...ché altrimenti è facile: l'iperpiano $pi:\ x_n=0$ lo posso scrivere come "limite" di una successione crescente di "parallelepipedi" di altezza zero, cioè
\[\pi=\bigcup_{k=1}^\infty Q_k\qquad Q_k:=[-k,k]^{n-1}\times \{0\}\qquad Q_k\subseteq Q_{k+1}\qquad m(Q_k)\equiv 0\]
dunque
\[m(\pi)=\lim_{k\to\infty }m(Q_k)=0\]
Il caso generale seguirebbe da questo, dato che ogni altro iperpiano si ottiene da $pi$ mediante opportune rotazioni e traslazioni.[/nota]. Idee?
Risposte
Non ho capito il problema: il volume di un parallelepipedo è invariante per roto-traslazioni.
Se usi ricoprimenti fatti da parallelepipedi, non è quindi restrittivo supporre che il tuo iperpiano sia \(x_n = 0\).
Se usi ricoprimenti fatti da parallelepipedi, non è quindi restrittivo supporre che il tuo iperpiano sia \(x_n = 0\).
Ciao Rigel! Cerco di spiegarmi meglio.
Se utilizzo l'invarianza per rototraslazioni, come dici, posso limitarmi a mostrare che uno degli iperpiani coordinati ha misura nulla, come ho fatto nel post precedente, ed ho finito.
Facciamo finta di non sapere che la misura è invariante per rotazioni e traslazioni: come dimostriamo che un generico iperpiano ha misura zero?
Se utilizzo l'invarianza per rototraslazioni, come dici, posso limitarmi a mostrare che uno degli iperpiani coordinati ha misura nulla, come ho fatto nel post precedente, ed ho finito.
Facciamo finta di non sapere che la misura è invariante per rotazioni e traslazioni: come dimostriamo che un generico iperpiano ha misura zero?
"Plepp":
Facciamo finta di non sapere che la misura è invariante per rotazioni e traslazioni: come dimostriamo che un generico iperpiano ha misura zero?
Il punto è che non serve sapere che la misura di Lebesgue è invariante per roto-traslazioni; basta sapere che il volume di un parallelepipedo lo è (in senso classico). A meno che tu non voglia assumere nemmeno l'invarianza classica dei volumi.
Chiaramente, per usare questo tipo di argomento, l'iperpiano va ricoperto con una successione di parallelepipedi di volume piccolo, ma non nullo; ad esempio si può usare
\[
R_k = [-k, k]^{n-1}\times[-\epsilon k^{-n-1}, \epsilon k^{-n-1}],
\]
con \(\epsilon > 0\) fissato. In tal modo, posto \(R = \bigcup_{k\geq 1} R_k\), avresti che \(R\) ricopre l'iperpiano e
\[
|R| \leq \sum_k |R_k| = 2^n \epsilon \sum_k \frac{1}{k^2} = C\epsilon.
\]
"Rigel":
A meno che tu non voglia assumere nemmeno l'invarianza classica dei volumi.
L'invarianza dei volumi (di parallelepipedi) per traslazioni è una sciocchezza e ce l'ho tra le "armi disponibili". Ma quella per rotazioni come la dimostro "a mano"?
Comunque, spiego meglio l'origine del problema: sto dimostrando che se $T$ è una qualunque applicazione lineare di $RR^n$ in sé, allora esiste una costante $\Delta\ge 0$ tale che
\[m(T(E))=\Delta m(E)\]
per ogni insieme misurabile $E\subseteq RR^n$. Più precisamente, il prof. ha distinto due casi: $T$ singolare, $T$ non singolare. Il primo caso è stato praticamente lasciato per esercizio, e c'è da provare che $Delta=0$; se $T$ è singolare, $T(RR^n)$ è contenuto in un iperpiano: ho pensato quindi di limitarmi a dimostrare che un iperpiano ha misura zero.
Solo qualche teorema più tardi si scopre che $\Delta=|det T|$, da cui si deduce l'invarianza della misura per rotazioni, che mi tornerebbe utile nella dimostrazione del primo fatto.
Ho capito.
Ti propongo un'altra dimostrazione, sperando che ti piaccia
Supponiamo, senza ledere la generalità, che il nostro iperpiano \(H\) sia del tipo
\[
x^n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^i =: \varphi(x^1,\ldots,x^{n-1})\,.
\]
FIssiamo \(\epsilon > 0\).
Per ogni \(k\) intero positivo, sia \(\epsilon_k := \epsilon / k^{n+1}\). Denotiamo con \((\mathbf{y}_j)_{j=1,\ldots,N_k}\subset\mathbb{R}^{n-1}\) i nodi di una griglia di \([-k,k]^{n-1}\) di passo \(\epsilon_k\), e siano \(\mathbf{x}_j = (\mathbf{y}_j, \varphi(\mathbf{y}_j)\) i corrispondenti punti sull'iperpiano.
Il numero \(N_k\) di punti della griglia sarà dato da
\[
N_k \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1}.
\]
Inoltre, due punti \(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k\) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \(c\epsilon_k\), con \(c\) costante indipendente da \(k\) (dovrebbe essere \(c = \sqrt{\sum_i (1+a_i^2)}\)). Sia ora
\[
R_k = \bigcup_{j=1}^{N_k} B(\mathbf{x}_j, c\epsilon_k).
\]
Per costruzione \(R_k\) contiene la porzione di iperpiano parametrizzata da \([-k,k]^{n-1}\); in particolare \(H\subset \bigcup_k R_k\). Poiché
\[
|R_k| \leq N_k |B_1| c^n \epsilon_k^n \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1} |B_1| c^n \epsilon_k^n
= C k^{n-1} \epsilon_k = \frac{C \epsilon}{k^2}
\]
avremo che
\[
|H| \leq C\epsilon \sum_k \frac{1}{k^{2k}} = C' \epsilon\,.
\]
Ti propongo un'altra dimostrazione, sperando che ti piaccia
Supponiamo, senza ledere la generalità, che il nostro iperpiano \(H\) sia del tipo
\[
x^n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^i =: \varphi(x^1,\ldots,x^{n-1})\,.
\]
FIssiamo \(\epsilon > 0\).
Per ogni \(k\) intero positivo, sia \(\epsilon_k := \epsilon / k^{n+1}\). Denotiamo con \((\mathbf{y}_j)_{j=1,\ldots,N_k}\subset\mathbb{R}^{n-1}\) i nodi di una griglia di \([-k,k]^{n-1}\) di passo \(\epsilon_k\), e siano \(\mathbf{x}_j = (\mathbf{y}_j, \varphi(\mathbf{y}_j)\) i corrispondenti punti sull'iperpiano.
Il numero \(N_k\) di punti della griglia sarà dato da
\[
N_k \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1}.
\]
Inoltre, due punti \(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k\) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \(c\epsilon_k\), con \(c\) costante indipendente da \(k\) (dovrebbe essere \(c = \sqrt{\sum_i (1+a_i^2)}\)). Sia ora
\[
R_k = \bigcup_{j=1}^{N_k} B(\mathbf{x}_j, c\epsilon_k).
\]
Per costruzione \(R_k\) contiene la porzione di iperpiano parametrizzata da \([-k,k]^{n-1}\); in particolare \(H\subset \bigcup_k R_k\). Poiché
\[
|R_k| \leq N_k |B_1| c^n \epsilon_k^n \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1} |B_1| c^n \epsilon_k^n
= C k^{n-1} \epsilon_k = \frac{C \epsilon}{k^2}
\]
avremo che
\[
|H| \leq C\epsilon \sum_k \frac{1}{k^{2k}} = C' \epsilon\,.
\]
Buonasera Rigel! Grazie davvero per esserti interessato
Credo di aver intuito l'idea della dimostrazione, ma non mi sono chiari un paio di passaggi:
Credo di aver intuito l'idea della dimostrazione, ma non mi sono chiari un paio di passaggi:
"Rigel":
[...]
due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \), con \( c \) costante indipendente da \( k \)
[...]
Poiché
\[ |R_k| \leq N_k |B_1| c^n \epsilon_k^n \]
[...]
1) Pensa al caso di una retta nel piano. Se la retta ha equazione \(y = a x\), allora i punti sulla retta di ascissa \(x_1\) e \(x_2\) hanno distanza in \(\mathbb{R}^2\) pari a
\[
\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (a x_1 - a x_2)^2} = |x_1 - x_2|\, \sqrt{1+a^2}\,.
\]
2) \(R_k\) è ricoperto da \(N_k\) palle in \(\mathbb{R}^n\), tutte aventi lo stesso raggio \(c \epsilon_k\); il volume di ciascuna di queste palle è dato da
\[ |B_1| c^n \epsilon_k^n. \]
(In generale, il volume di una palla di raggio \(r\) è dato da \(|B_1| r^n\), dove \(|B_1|\) è il volume della palla unitaria di \(\mathbb{R}^n\).)
\[
\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (a x_1 - a x_2)^2} = |x_1 - x_2|\, \sqrt{1+a^2}\,.
\]
2) \(R_k\) è ricoperto da \(N_k\) palle in \(\mathbb{R}^n\), tutte aventi lo stesso raggio \(c \epsilon_k\); il volume di ciascuna di queste palle è dato da
\[ |B_1| c^n \epsilon_k^n. \]
(In generale, il volume di una palla di raggio \(r\) è dato da \(|B_1| r^n\), dove \(|B_1|\) è il volume della palla unitaria di \(\mathbb{R}^n\).)
1) Il fatto è: se due punti della griglia distano almeno $\epsilon_k$ l'uno dall'altro, la distanza tra due punti dell'iperpiano dovrebbe essere almeno $c\epsilon_k$, mentre tu scrivi
Sono io che non ho capito un tubo o si tratta di un errore di battitura?
2) Perfetto, ci sono!
(Curiosità: questa conclusione la posso trarre anche senza conoscere l'espressione di $|B_r|$ in funzione di $n$? Con $B_r$ indico la palla di raggio $r$ di $RR^n$.)
EDIT. Mi rispondo da solo: sì, dato che $B_r=r\cdot B_1$
"Rigel":
Inoltre, due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \)
Sono io che non ho capito un tubo o si tratta di un errore di battitura?
2) Perfetto, ci sono!
"Rigel":
(In generale, il volume di una palla di raggio \( r \) è dato da \( |B_1| r^n \), dove \( |B_1| \) è il volume della palla unitaria di \( \mathbb{R}^n \).)
(Curiosità: questa conclusione la posso trarre anche senza conoscere l'espressione di $|B_r|$ in funzione di $n$? Con $B_r$ indico la palla di raggio $r$ di $RR^n$.)
EDIT. Mi rispondo da solo: sì, dato che $B_r=r\cdot B_1$
Te lo faccio in R^2 poi te aggiusti.
Prendi u a retta (r). Questa è il limite di segmenti crescenti $r_n$. (Ad esempio se prendi la retta y=x puoi considerare i segmenti che uniscono (-1,-1) e (1,1); (-2,-2) (2,2)).
La misura è continua per oer successioni crescenti, quindi $l(r)= lim l(r_n)$.
Il claim è che $l(r_n)$ sia uguale a 0 per ogni n.
Chiamo $r_n=r$ per semplicità.
Segui un procedimento inverso a prima. Inciciotticci la retta considerando rettangoli aventi per base di lunghezza r ed altezza $2/n$. Ad esempio se prendi la retta che cngiunge (-1,-1) a (1,1) considera il rettangolo che unisce (-1-1/n, -1+1/n), (-1+1/n,-1-1/n), e gli altri due. Spero tu abbia capito. Fatti un disegno. Chiama questi rettangoli $r_n$.
La retta è il loro limite (in questo caso decrescenti). Si ha dunque che $l(r)= lim_n 2/n *"base"=0$.
Penso sia abbastanza facile estendere ad R^n.
Mi è venuta anche una dimostrazione per assurdo. Domani te la posto.
Prendi u a retta (r). Questa è il limite di segmenti crescenti $r_n$. (Ad esempio se prendi la retta y=x puoi considerare i segmenti che uniscono (-1,-1) e (1,1); (-2,-2) (2,2)).
La misura è continua per oer successioni crescenti, quindi $l(r)= lim l(r_n)$.
Il claim è che $l(r_n)$ sia uguale a 0 per ogni n.
Chiamo $r_n=r$ per semplicità.
Segui un procedimento inverso a prima. Inciciotticci la retta considerando rettangoli aventi per base di lunghezza r ed altezza $2/n$. Ad esempio se prendi la retta che cngiunge (-1,-1) a (1,1) considera il rettangolo che unisce (-1-1/n, -1+1/n), (-1+1/n,-1-1/n), e gli altri due. Spero tu abbia capito. Fatti un disegno. Chiama questi rettangoli $r_n$.
La retta è il loro limite (in questo caso decrescenti). Si ha dunque che $l(r)= lim_n 2/n *"base"=0$.
Penso sia abbastanza facile estendere ad R^n.
Mi è venuta anche una dimostrazione per assurdo. Domani te la posto.
@DajeForte: quella è, nella sostanza, la prima dimostrazione proposta.
Plepp però dice che, mentre può calcolare la misura di un rettangolo con i lati paralleli agli assi, non può farlo se il rettangolo è ruotato, dal momento che ancora non ha dimostrato l'invarianza per rotazione della misura.
Da qui la dimostrazione col ricoprimento fatto di pallette
@Plepp: nella \(c\) del mio messaggio manca un fattore \(\sqrt{n}\); comunque il valore di \(c\) non è importante, dal momento che è sufficiente che non dipenda da \(k\).
Plepp però dice che, mentre può calcolare la misura di un rettangolo con i lati paralleli agli assi, non può farlo se il rettangolo è ruotato, dal momento che ancora non ha dimostrato l'invarianza per rotazione della misura.
Da qui la dimostrazione col ricoprimento fatto di pallette
@Plepp: nella \(c\) del mio messaggio manca un fattore \(\sqrt{n}\); comunque il valore di \(c\) non è importante, dal momento che è sufficiente che non dipenda da \(k\).
Sostanzialmente?? Quella mi padre proprio la stessa! Ouch
Comunque si risolve tutto usando una successione di "scale", ma sono sicuro questa sara stata la tua idea ( dopo gli do una letta).
Comunque si risolve tutto usando una successione di "scale", ma sono sicuro questa sara stata la tua idea ( dopo gli do una letta).
"DajeForte":
Sostanzialmente?? Quella mi padre proprio la stessa! Ouch
Comunque si risolve tutto usando una successione di "scale", ma sono sicuro questa sara stata la tua idea ( dopo gli do una letta).
Anziché usare scale, ho usato pallette (almeno così l'invarianza per roto-traslazioni è salva
).
Ma stai dicendo che anche le scale non sono ammesse?
Comunque voglio trovare una dimostrazione che usa l'assurdo. La avevo trovata ma usa il fatto che segmenti paralleli hanno stessa misura. Si può?
Ponderano
Comunque voglio trovare una dimostrazione che usa l'assurdo. La avevo trovata ma usa il fatto che segmenti paralleli hanno stessa misura. Si può?
Ponderano
"DajeForte":
Ma stai dicendo che anche le scale non sono ammesse?
Le scale dovrebbero essere ammesse.
Comunque voglio trovare una dimostrazione che usa l'assurdo. La avevo trovata ma usa il fatto che segmenti paralleli hanno stessa misura. Si può?
Devi chiedere a plepp cosa è ammesso
Ciao ragazzi!
@DajeForte: grazie anche a te per esserti interessato. In effetti per fare come dici dovrei saper calcolare l'area di rettangoli "storti". Se ho capito ciò che intendi per "scale" (nel caso di un piano nello spazio tridimensionale, si tratta di vere e proprie scale xD) sì, sono ammesse
@Rigel: abbi pazienza
Sul fatto che non conti chi sia $c$ (purché sia indipendente da $k$) siamo d'accordo. Cerco di spiegarmi meglio. Per come hai definito i punti $y_j$ della griglia, si ha (facciamo $n=2$)
\[|y_i-y_j|\ge \epsilon_k\qquad \forall i,j =1,...,N_k\]
Giusto? Quindi, se $x_j=(y_j,ay_j)$, dev'essere
\[\|x_i-x_j\|=\sqrt{(y_i-y_j)^2+(ay_i-ay_j)^2}\ge \epsilon_k\sqrt{1+a^2}=c\epsilon_k\]
Mentre tu dici
@DajeForte: grazie anche a te per esserti interessato. In effetti per fare come dici dovrei saper calcolare l'area di rettangoli "storti". Se ho capito ciò che intendi per "scale" (nel caso di un piano nello spazio tridimensionale, si tratta di vere e proprie scale xD) sì, sono ammesse
@Rigel: abbi pazienza
Sul fatto che non conti chi sia $c$ (purché sia indipendente da $k$) siamo d'accordo. Cerco di spiegarmi meglio. Per come hai definito i punti $y_j$ della griglia, si ha (facciamo $n=2$)\[|y_i-y_j|\ge \epsilon_k\qquad \forall i,j =1,...,N_k\]
Giusto? Quindi, se $x_j=(y_j,ay_j)$, dev'essere
\[\|x_i-x_j\|=\sqrt{(y_i-y_j)^2+(ay_i-ay_j)^2}\ge \epsilon_k\sqrt{1+a^2}=c\epsilon_k\]
Mentre tu dici
"Rigel":
Inoltre, due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \)
In dimensione 2 la distanza fra due punti adiacenti è esattamente \(c \epsilon_k\), se i punti della griglia stanno a distanza \(\epsilon_k\). Peraltro, non capisco come mai scrivi \(|y_i - y_j| \geq \epsilon_k\); per punti adiacenti vale l'uguaglianza.
In dimensione maggiore, la distanza fra due punti adiacenti (dunque con \(n-1\) coordinate uguali) è invece \(\leq c\epsilon_k\), perché dipende dalla direzione in cui ti muovi.
Se vuoi tener conto anche di punti adiacenti in diagonale, serve il fattore aggiuntivo \(\sqrt{n}\).
In dimensione maggiore, la distanza fra due punti adiacenti (dunque con \(n-1\) coordinate uguali) è invece \(\leq c\epsilon_k\), perché dipende dalla direzione in cui ti muovi.
Se vuoi tener conto anche di punti adiacenti in diagonale, serve il fattore aggiuntivo \(\sqrt{n}\).
Lì $y_i$, $y_j$ erano due punti qualsiasi della griglia, perciò ho scritto così.
Come immaginavo, non avevo capito. Ora ci sono!
Grazie davvero per la pazienza Rigel buona serata!
Come immaginavo, non avevo capito. Ora ci sono!
Grazie davvero per la pazienza Rigel
buona serata!
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