Un integrale semplice
salve a tutti, ho un piccolo problema con un integrale:
$\int sqrt(1+sin(x))dx$
dato che non mi sembra un integrale immediatoho provato e riprovato (per parti non mi pare, credevo per sostituzione ma non ho ottenuto quello che speravo...forse non ho trovato al sostituzione adeguata.. ho anche tentato con una razionalizzazione ma non ne sono uscito)
ma non riesco a "vederne" la possibile soluzione. avete qualche suggerimento?
l'ultima che mi è venua in mente è:
$1+sin(x) = sin^2 (x) + cos^2 (x) + sin(x) = sin^2 (x) + cos^2 (x) + sin(x)*((2cos(x))/(2cos(x))) = [[sin(x)+cos(x)]^2]/(2cos(x))$
a questo punto l'integrale diventerebbe
$ \int [sin(x)+cos(x)]/sqrt(2cos(x))dx$
avrei 2 integrali ma non riesco a risolvere il secondo addendo $ \int cos(x)/sqrt(2cos(x))dx$
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua come mio solito.
Ciao!
$\int sqrt(1+sin(x))dx$
dato che non mi sembra un integrale immediatoho provato e riprovato (per parti non mi pare, credevo per sostituzione ma non ho ottenuto quello che speravo...forse non ho trovato al sostituzione adeguata.. ho anche tentato con una razionalizzazione ma non ne sono uscito)
ma non riesco a "vederne" la possibile soluzione. avete qualche suggerimento?
l'ultima che mi è venua in mente è:
$1+sin(x) = sin^2 (x) + cos^2 (x) + sin(x) = sin^2 (x) + cos^2 (x) + sin(x)*((2cos(x))/(2cos(x))) = [[sin(x)+cos(x)]^2]/(2cos(x))$
a questo punto l'integrale diventerebbe
$ \int [sin(x)+cos(x)]/sqrt(2cos(x))dx$
avrei 2 integrali ma non riesco a risolvere il secondo addendo $ \int cos(x)/sqrt(2cos(x))dx$
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua come mio solito.
Ciao!
Risposte
Prova con la classica sostituzione $sinx=(2t)/(1+t^2)$ con $t=tg (x/2)$.
Dovrebbe venire facile.
Dovrebbe venire facile.
Se lo fai con sostituzione come ti ha detto gugo viene abbastanza semplice con risultato $x-cos(x)+c$
"furiaceka":
Se lo fai con sostituzione come ti ha detto gugo viene abbastanza semplice con risultato $x-cos(x)+c$
Mi sa proprio che hai sbagliato a fare i conti...
Ciao grazie per il consiglio! Effettivamente non mi ero ricordato di quella sostituzione!!
quindi provando con $sinx=(2t)/(1+t^2)$ con$ t=tg(x/2)$:
$dx= (2(1-t^2))/(sqrt(1-((2t)/(1+t^2))^2))dt$
dalle varie semplificazioni ho ottenuto:
$\int sqrt(1+sin(x))dx=2 \int sqrt(1+t^2)dt$
Ora se non ho fatto male i conti dovrei fare una seconda sostituzione del tipo $sqrt(1+t^2)=k-t$ e risolvere.
Ma ho qualche perplessità... ad esempio non è che devo calcolare il mio $dx$ partendo da $ t=tg(x/2)$ ?
in tal caso $dx=2/(1+t^2) dt$ e riesco ad arrivare sino a questo integrale $\int (1+t)/(1+t^2)^(3/2)dt$
domani mattina ci riprovo. magari la notte porta consiglio. Se notate qualche errore o non è chiaro posto tutti i passaggi
"furiaceka" probabilmente hai svolto l'integrale con qualche programma e hai sbagliato scrivendo l'equazione... tipo: $sqrt(1)+sin(x)$ cmq gr
ciao!
quindi provando con $sinx=(2t)/(1+t^2)$ con$ t=tg(x/2)$:
$dx= (2(1-t^2))/(sqrt(1-((2t)/(1+t^2))^2))dt$
dalle varie semplificazioni ho ottenuto:
$\int sqrt(1+sin(x))dx=2 \int sqrt(1+t^2)dt$
Ora se non ho fatto male i conti dovrei fare una seconda sostituzione del tipo $sqrt(1+t^2)=k-t$ e risolvere.
Ma ho qualche perplessità... ad esempio non è che devo calcolare il mio $dx$ partendo da $ t=tg(x/2)$ ?
in tal caso $dx=2/(1+t^2) dt$ e riesco ad arrivare sino a questo integrale $\int (1+t)/(1+t^2)^(3/2)dt$
domani mattina ci riprovo. magari la notte porta consiglio. Se notate qualche errore o non è chiaro posto tutti i passaggi
"furiaceka" probabilmente hai svolto l'integrale con qualche programma e hai sbagliato scrivendo l'equazione... tipo: $sqrt(1)+sin(x)$ cmq gr
ciao!
"ebol":
Ma ho qualche perplessità... ad esempio non è che devo calcolare il mio $dx$ partendo da $ t=tg(x/2)$ ?
in tal caso $dx=2/(1+t^2) dt$ e riesco ad arrivare sino a questo integrale $\int (1+t)/(1+t^2)^(3/2)dt$.
Sì, è così che devi procedere; l'altro metodo è sbagliato (o, almeno, non ti porta al giusto integrale... dovresti ricontrollare i calcoli).
Ciao!
Non vorrei dire qualche stupidata ma io ho fatto così:
ho messo a posto di $sinx=2t\(1+t^2)$
alla fine facendo vari calcoli scompongo cosi
$intt/sqrt(t^2+1) +int 1/sqrt(t^2+1)$
e viene $sqrt(t^2+1) + arcsen t$
Non vorrei dire qualche stupidata ma io ho fatto così:
ho messo a posto di $sinx=2t\(1+t^2)$
alla fine facendo vari calcoli scompongo cosi
$intt/sqrt(t^2+1) +int 1/sqrt(t^2+1)$
e viene $sqrt(t^2+1) + arcsen t$
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