Un integrale per dimostrare che un campo di forze non è conservativo

[IlPolloDiGödel]

Vi metto subito l'esercizietto in esame. Il campo di forze in oggetto è $F(vec x) =vecu_z ^^ vecx $, dove $^^$ indica il prodotto vettoriale. I vettori sono tutti di $RR^3$.
Quindi ho $F(vec x) = - y vecu_x + x vecu_y$ e mi si chiede di provare che tale campo non sia conservativo.

Certo, con un calcoletto vedo subito che $F(vec x) * dvecx$ non è chiusa, e chiamando in causa qualche teorema ben noto deduco immediatamente quanto voglio dimostrare. Supponendo di trovarmi di fronte una F irrotazionale ma non conservativa (ovvero forme differenziali chiuse ma non esatte), vi chiederei di mostrarmi, se possibile, una dimostrazione che utilizzi la definizione: mi servirebbe quindi una linea $gamma$ (a priori in $RR^3$, ma siccome questa F in effetti lavora solo sul piano xy, siamo in $RR^2$) lungo la quale sia $ oint_(gamma) F(vecx)*dvecx !=0 $

[Bremen000]

Se il tuo intento è mostrare che un campo non è conservativo considera che:

.Se F è conservativo allora è irrotazionale.

.Se F è irrotazionale su un dominio semplicemente connesso allora è conservativo.

.Stando in $\mathbb{R}^2 $:

Sia $F : D \setminus {x_0} \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ irrotazionale nel suo dominio. Se $ \exists \gamma , \gamma = \partial A, {x_0} \in A \subset D, | \oint_{\gamma} =0, $ allora $F$ è conservativo.

Noto questo teorema, se sei interessato a mostrare che $F$ irrotazionale non è conservativo (ovviamente se hai già mostrato che non è irrotazionale il problema non si pone) è sufficiente considerare singolarmente i punti dove $F$ non è definita e considerare attorno a ciascuno di essi una curva chiusa. Se su almeno una di esse l'integrale non è nullo hai finito.

In $\mathbb{R}^3$ è leggermente più complesso nel senso che un insieme è semplicemente connesso anche se viene privato di un punto singolo. Sarà non semplicemente connesso se è privato di una retta e quindi dovrai prendere una curva chiusa attorno alla retta e fare lo stesso ragionamento.

Non ho tuttavia capito di cosa chiedi la dimostrazione.

[IlPolloDiGödel]

Ciao Bremen, grazie per la tua risposta. Quello che cerco è proprio la continuazione del tuo ragionamento. Mi spiego:
innanzitutto possiamo stabilire una meta-biiezione tra questi concetti:

$vecF(vecx)$ è un campo di forze irrotazionale $<->$ la forma differenziale associata $vecF(vecx) * d vecx$ è chiusa.
$vecF(vecx)$ è un campo di forze conservativo $<->$ la forma differenziale associata $vecF(vecx) * d vecx$ è esatta.
Il perchè sia così è abbastanza noto, specie se, come si fa di solito, chiami lavoro istantaneo o lavoro elementare la f.d. $vecF(vecx) * d vecx$

ciò detto, l'esercizio che ho postato era risolto già dimostrando che $vecF(vecx) * d vecx$ non è chiusa, come ho fatto.

Ritornando all'esercizio, vedi subito che si ha $vecF : RR^2 -> RR^2$, quindi mi interessava vedere se si può trovare facilmente una curva chiusa $gamma : [a,b] sub RR to RR^2$ per la quale $ oint_(gamma) F(vecx)*dvecx !=0 $, cosa che non so fare

vorrei infine farti una domanda: hai scritto

"Bremen000":

Sia $ F : D \setminus {x_0} \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ irrotazionale nel suo dominio. Se $ \exists \gamma , \gamma = \partial A, {x_0} \in A \subset D, | \oint_{\gamma} =0, $ allora $ F $ è conservativo.

intendevi che la condizione deve valere per ogni curva $gamma$, o che ne basta una con quelle condizioni?

[Bremen000]

Credo ora di aver capito quello che mi chiedi. Cioè tu hai una forma differenziale chiusa e vuoi provare che non è esatta e vuoi sapere su quale curva chiusa effettuare l'integrale di linea in modo che esso venga diverso da zero, da cui la tesi.

Il teorema (**) che ti ho citato serve proprio a questo, tuttavia ho fatto un' imprecisione: il dominio potrebbe essere privato anche non di un solo punto ma anche di un insieme che lo rende non semplicemente connesso.

Il caso forma differenziale chiusa ma potenzialmente non esatta avviene solo se essa è definita su un dominio che non è semplicemente connesso (giacché f.d. chiusa su dominio semplicemente connesso implica esatta). In $\mathbb{R}^2$ , giusto per fissare le idee (poi puoi estendere il ragionamento ad $\mathbb{R}^n$), un dominio non è semplicemente connesso se ha, perdonami l'espressione ma non è mio intento essere formale in questa circostanza, un "buco" o più "buchi".* Consideriamo singolarmente ogni "buco" del dominio, esaminando quindi il caso di un dominio con un solo "buco" (infatti se una forma differenziale è esatta su due insiemi lo è anche sulla loro unione, dunque se dimostriamo che è esatta attorno a ogni "buco" del dominio sarà conservativa ovunque nel dominio). Dal teorema (**) hai che se esiste una (ne basta una sola) curva chiusa attorno al "buco" tale che l'integrale della f.d. è nullo, allora essa è esatta. Ma se è esatta allora OGNI curva chiusa attorno al "buco" rispetta questa proprietà, per definizione di f.d. esatta.
Detto ciò non devi effettuare nessuna ricerca della curva attorno al "buco", prendine una qualsiasi, se l'integrale fa 0 allora la f.d. è esatta, e dunque l'integrale fa 0 su qualunque altra curva. Se non fa 0 allora non è esatta.

"IlPolloDiGödel":

intendevi che la condizione deve valere per ogni curva $ gamma $, o che ne basta una con quelle condizioni?

Ovviamente intendevo che ne basta una se no sarebbe un teorema ben misero, sarebbe come leggere "se una f.d. è esatta allora è esatta"! E comunque avrei scritto $\forall$.

Spero il discorso sia chiaro ora!

* Diciamo che un insieme è semplicemente connesso se ogni laccio è omotopo ad un laccio costante (ad un punto).

[IlPolloDiGödel]

Perfetto, adesso sembra decisamente più ovvio di prima. Grazie grazie