Un integrale ....lunare
Calcolare il seguente integrale definito:
/2
((cosx)^
3)/((cosx)^3+(sinx)^3)dx
0
Speriamo si capisca:c'e' voluto un po' di tempo.
karl.
/2((cosx)^3)/((cosx)^3+(sinx)^3)dx0
Speriamo si capisca:c'e' voluto un po' di tempo.
karl.
Risposte
non si capisce
Lo scrivo a parole:
Integrale da 0 a p-greco/2 di
(coseno_di_x)elevato a sqrt(3)
tutto fratto
[(coseno_di_x)elevato a sqrt(3)+(seno_di_x)elevato a sqrt(3)]
karl.
P.S.
Sono seno e coseno ad essere elevati a radice quadrata di 3
e NON LA X.
Provate a scordarvi metodi predefiniti o
poco eleganti calcoli approssimati.
Modificato da - karl il 09/03/2004 21:41:31
Modificato da - karl il 09/03/2004 21:42:06
Integrale da 0 a p-greco/2 di
(coseno_di_x)elevato a sqrt(3)
tutto fratto
[(coseno_di_x)elevato a sqrt(3)+(seno_di_x)elevato a sqrt(3)]
karl.
P.S.
Sono seno e coseno ad essere elevati a radice quadrata di 3
e NON LA X.
Provate a scordarvi metodi predefiniti o
poco eleganti calcoli approssimati.
Modificato da - karl il 09/03/2004 21:41:31
Modificato da - karl il 09/03/2004 21:42:06
L'Integrale richiesto è uguale a /4
/4
Capperi! Altro che Schumaker (si scrive cosi'?).
Facciamo pensare anche un po' gli altri sul perche'
di tale risultato.
karl.
Facciamo pensare anche un po' gli altri sul perche'
di tale risultato.
karl.
Scusami per averlo scritto subito
ma il risultato era carino!
Ciao Ermanno
ma il risultato era carino!
Ciao Ermanno
Lo vedo che fa /4
ma come si fa analiticamente ?
Modificato da - arriama il 09/03/2004 22:32:33
Modificato da - arriama il 09/03/2004 23:10:03
/4 ma come si fa analiticamente ?
Modificato da - arriama il 09/03/2004 22:32:33
Modificato da - arriama il 09/03/2004 23:10:03
La figura non la vedo :presumo che sia un grafico.
Se e' cosi' osserva attentamente,sei sulla buona strada!
karl.
Se e' cosi' osserva attentamente,sei sulla buona strada!
karl.
Si vede adesso la curva ?
Una rototraslazione e poi dimostrare che la funzione che si ottiene è dispari ?
Non c'è una via analitica più breve ?
Grazie.
Una rototraslazione e poi dimostrare che la funzione che si ottiene è dispari ?
Non c'è una via analitica più breve ?
Grazie.
Mi sembra che ci sia un errore nel calcolo da te effettuato sulla
funzione:avendo diviso per coseno,il coseno dovrebbe
comparire a denominatore ed il seno a num. nel logaritmo.
Vedi un po'. Inoltre penso che l'introduzione del logaritmo
sia eccessivo:basta far comparire la tangente.
Infine c'e' una particolare simmetria che rende il problema
di immediata soluzione.
karl.
funzione:avendo diviso per coseno,il coseno dovrebbe
comparire a denominatore ed il seno a num. nel logaritmo.
Vedi un po'. Inoltre penso che l'introduzione del logaritmo
sia eccessivo:basta far comparire la tangente.
Infine c'e' una particolare simmetria che rende il problema
di immediata soluzione.
karl.
Giusto karl. Avevo invertito il seno col coseno. Una botta di sclero fra le tante ...
Adesso il grafico (sopra) dovrebbe essere giusto.
Siccome sono nuovo in questo forum, puoi gentilmente dirmi se il grafico si vede (quello giusto è decrescente).
Rispetto all'altro cambia solo la pendenza, ma le simmetrie sono le stesse.
Non capisco come si possa arrivare immediatamente alla soluzione (a parte che si vede a occhio) in maniera analitica senza fare una rotostraslazione.
Saresti così gentile da suggerirmelo ?
Grazie.
ps. in questi casi uso il log per abitudine per il fatto che il PHP (con cui faccio i grafici) non funziona bene con gli esponenti frazionari e le basi negative. Qui la base è positiva per cui potevo risparmiarmelo, il log, ... pazienza
Adesso il grafico (sopra) dovrebbe essere giusto.
Siccome sono nuovo in questo forum, puoi gentilmente dirmi se il grafico si vede (quello giusto è decrescente).
Rispetto all'altro cambia solo la pendenza, ma le simmetrie sono le stesse.
Non capisco come si possa arrivare immediatamente alla soluzione (a parte che si vede a occhio) in maniera analitica senza fare una rotostraslazione.
Saresti così gentile da suggerirmelo ?
Grazie.
ps. in questi casi uso il log per abitudine per il fatto che il PHP (con cui faccio i grafici) non funziona bene con gli esponenti frazionari e le basi negative. Qui la base è positiva per cui potevo risparmiarmelo, il log, ... pazienza
Per Arriama.
Scusa il ritardo.Il grafico ora e' giusto.
Esso ha un centro di simmetria:conducendo per tale
centro la parallela ,per esempio,all'asse x e
considerando il rettangolo (0,0), (pi/2,0) (pi/2,1) (0,1)
si osserva che....
Non e'una vera e propria soluzione analitica e porta
ad una conclusione,a dir poco,stupefacente.
karl.
Scusa il ritardo.Il grafico ora e' giusto.
Esso ha un centro di simmetria:conducendo per tale
centro la parallela ,per esempio,all'asse x e
considerando il rettangolo (0,0), (pi/2,0) (pi/2,1) (0,1)
si osserva che....
Non e'una vera e propria soluzione analitica e porta
ad una conclusione,a dir poco,stupefacente.
karl.
Sono d'accordo con te karl.
Ci accontentiamo di una soluzione "empirica".
Una soluzione analitica potrebbe essere fare una rototraslazione in cui il nuovo asse x coincide con la diagonale obliqua del rettangolo e dimostrare che la nuova funzione è simmetrica rispetto al centro della diagonale.
Procedimento semplice, calcoli complicati. Rinuncio ...
Grazie e ciao.
Ci accontentiamo di una soluzione "empirica".
Una soluzione analitica potrebbe essere fare una rototraslazione in cui il nuovo asse x coincide con la diagonale obliqua del rettangolo e dimostrare che la nuova funzione è simmetrica rispetto al centro della diagonale.
Procedimento semplice, calcoli complicati. Rinuncio ...
Grazie e ciao.
Scusate ma come si arriva alla soluzione??? Non ho capito 
Si arriva alla soluzione intuitivamente guardando la simmetria del grafico.
L'integrale è metà dell'area del rettangolo indicato nel grafico.
Per una soluzione analitica, io farei una rototraslazione degli assi e mi sposterei nel centro della diagonale del suddetto rettangolo (il nuovo asse delle x corrisponde con l'asse stesso). Poi dimostrerei che la nuova funzione ottenuta con la rototraslazione è dispari (simmetrica rispetto all'origine). In questo modo avrei dimostrato che l'area cercata è esattamente metà del rettangolo.
I calcoli (piuttosto lunghi) non li ho fatti e mi sono fidato dell'intuito ...
Bye.
L'integrale è metà dell'area del rettangolo indicato nel grafico.
Per una soluzione analitica, io farei una rototraslazione degli assi e mi sposterei nel centro della diagonale del suddetto rettangolo (il nuovo asse delle x corrisponde con l'asse stesso). Poi dimostrerei che la nuova funzione ottenuta con la rototraslazione è dispari (simmetrica rispetto all'origine). In questo modo avrei dimostrato che l'area cercata è esattamente metà del rettangolo.
I calcoli (piuttosto lunghi) non li ho fatti e mi sono fidato dell'intuito ...
Bye.
ok grazie!
Vedo che nessuno si e' chiesto in cosa consistesse
la straordinarieta' dell'integrale proposto.
Ve lo dico io:l'integrale e' sempre Pi/4
indipendendemente dall'esponente del seno e del
coseno.In altre parole l'integrale resta uguale anche
se a sqrt(3) si sostituisce un qualunque numero reale.
Perche'?
karl.
la straordinarieta' dell'integrale proposto.
Ve lo dico io:l'integrale e' sempre Pi/4
indipendendemente dall'esponente del seno e del
coseno.In altre parole l'integrale resta uguale anche
se a sqrt(3) si sostituisce un qualunque numero reale.
Perche'?
karl.
I punti :
(0,1) ; (pi/4,1/2) ; (pi/2,0)
sono punti fissi del grafico della funzione integranda per qualunque esponente (dimostrazione immediata).
Inoltre il punto (pi/4,1/2) è centro di simmetria per qualunque esponente (questa affermazione la faccio a livello intuitivo).
(esponente da 0.1 a 10, step 1)
Bye.
Modificato da - arriama il 14/03/2004 14:54:15
(0,1) ; (pi/4,1/2) ; (pi/2,0)
sono punti fissi del grafico della funzione integranda per qualunque esponente (dimostrazione immediata).
Inoltre il punto (pi/4,1/2) è centro di simmetria per qualunque esponente (questa affermazione la faccio a livello intuitivo).
(esponente da 0.1 a 10, step 1)
Bye.
Modificato da - arriama il 14/03/2004 14:54:15
Ok! La questione e' chiusa.Quanto alla simmetria rispetto
al punto (pi/4,1/2),e' sufficiente applicare la traslazione
x=x'+pi/4
y=y'+1/2
per osservare che la curva si trasforma (formalmente) in un'altra
simmetrica rispetto all'origine (0,0) (f(-x)=-f(x)) e pertanto
essa risulta simmetrica rispetto alla vecchia origine,ovvero rispetto a (pi/4,1/2).
karl.
al punto (pi/4,1/2),e' sufficiente applicare la traslazione
x=x'+pi/4
y=y'+1/2
per osservare che la curva si trasforma (formalmente) in un'altra
simmetrica rispetto all'origine (0,0) (f(-x)=-f(x)) e pertanto
essa risulta simmetrica rispetto alla vecchia origine,ovvero rispetto a (pi/4,1/2).
karl.
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