Un integrale in $RR^3$ per stabilire se una funzione è sommabile

[poll89]

Ciao a tutti, come sempre. Dal titolo avrete capito per cosa chiedo aiuto oggi.

La funzione in esame è $f_alpha(x,y,z) = xyz(x^2 + z^2)^alpha$ e devo stabilire per quali $alpha in RR$ essa sia sommabile su $D={(x,y,z) in RR^3 : x
Purtroppo per $alpha$ positivi la funzione è tranquillamente continua su $RR^3$, ma per $alpha$ negativi no, In più non è neanche sempre positiva. Per trovare i valori di $alpha$ per cui sia sommabile quindi non vedo altra scelta che calcolare gli integrali delle parti positiva e negativa di f, o almeno stabilire se convergano o meno in D. Su tali integrali sarà applicabile il teorema di Tonelli che mi permetterà di ridurre in integrali iterati.
Tutto molto bello, solo non so come farlo. Penso ci sia un cambiamento di variabili potente e prezioso che espliciti meglio degli intervalli di integrazione per le 3 variabili: si potrebbe pensare alle solite coordinate cilindriche, od a quelle sferiche, ma i conti mi bloccano sempre, quindi attendo un aiuto di un utente misericordioso.

Ho un altro esercizio analogo, sentitevi liberi di consigliarmi su uno qualsiasi dei due:

$D_n = {(x,y,z) in RR^3 text( ) : (x^2 + y^2)/(n^2 -1) < z < 0}$ e $f_(n)^alpha (x,y,z) = n^(-1) (|x| + 2|y| + Th^(3/2)(|x| + |y|))|z+1|^alpha)$

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